183644 (Расчет оптимизационных моделей), страница 2

2. Какие виды моделей вам известны?

3. В чем сущность оптимизационных моделей?

4. Что понимается под термином “оптимизационная функция”?

5. Для решения каких задач используется “оптимизационные модели”?

Расчет балансовых моделей

Балансовые экономико-математические модели, как следует из их названия, выражают в математической форме баланс определенного вида экономического продукта, включая и денежные средства.

В самом общем виде балансовое соотношение имеет вид:

Приход = Расход ± Изменение запасов

В этом соотношении приход понимается как общее поступление экономического продукта из самых разных источников за определенный период времени, а расход - как суммарное расходование того же продукта на самые различные нужды за то же время. Знак плюс соответствует случаю, когда приход больше расхода и запасы (остатки) изменились в сторону увеличения, а знак минус - случаю, когда приход меньше расхода и запасы уменьшились, а то и вовсе возник дефицит продукта.

Уравнение баланса или система уравнений, если составляется много продуктовый баланс, характеризуют наличие, производство, потребление, закупку, продажу, экспорт, импорт продукта определенным хозяйствующим субъектом. Им может быть государство (страна), регион, предприятие, компания, семья.

На первый взгляд балансовые модели выглядят очень простыми. Однако, когда приходится сопоставлять балансы многих продуктов в материальной и денежной форме на различные периоды времени, то соотношения баланса, будучи в большинстве случаев линейными уравнениями по отношению к входящим в них неизвестным, искомым величинам, представляют довольно сложные системы уравнений.

В управлении экономикой на разных уровнях балансовые модели дают возможность субъекту управления определять, какие объемы производства, поступления продуктов, товаров или величины и источники денежных доходов необходимы для удовлетворения нужд, запросов, потребностей, обеспечения расходов объекта управления на определенный период времени. Кроме того, балансовые модели позволяют установить требуемые соотношения, пропорции между объемами производства, производственного потребления разных видов продукции, ресурсов, совместно применяемых в производственных процессах. Такие модели позволяют установить соответствие между объемными показателями в материально-вещественном (физическом) и денежном изменении с помощью цен. Балансовые модели есть главный инструмент достижения согласованности между производством и потреблением, доходами и расходами, а также контроля, проверки целевого использования ресурсов.

Следует, правда, иметь в виду, что в большинстве случаев балансовые соотношения можно назвать экономико-математическими моделями лишь с определенною степенью условности, поэтому в реальной практике чаще говорят о балансовых расчетах, чем о балансовых моделях. Это относится, например, к построению плановых и отчетных балансов предприятий, балансов в виде государственных, региональных, местных, семейных бюджетов, балансов денежных доходов и расходов населения. Вместе с тем такие виды балансов, как межотраслевой баланс производства и использования продукции, многопродуктовые балансы, оптимизационные балансы, представляющие систему многих связанных между собой балансовых соотношений, правомерно относятся к экономико-математическим моделям.

Задача. Простейшая двухпродуктовая балансовая модель

Предположим, что производится два товара, один - в количестве x1 и другой - в количестве x2, измеренном в одних и тех же единицах. На производство первого товара тратится 0,1 общего выпуска этого же товара (например, на производство топлива затрачивается 10% производимого топлива) и 0,15 единиц второго товара. Кроме того, 3300 единиц первого товара производится на другие нужды. На производство единицы второго товара затрачивается 0,2 единицы первого товара и 0,05 единиц второго товара (например, на производство металла затрачивается 5% производимого металла). Кроме того, 6600 единиц второго товара производится на другие нужды. Надо определить x1 и x2, то есть требуемые объемы производства одного и второго товара.

Двухпродуктовая балансовая модель выглядит следующим образом

{x1 = a11x1 + a12x2 + x1d

{x2 = a21x1 + a22x2 + x2d

В модели приняты обозначения:

x1 – объем производства первого товара;

x2 – объем производства второго товара;

a11 – доля первого товара, затрачиваемая на его же производство;

a12 – доля первого товара, затрачиваемая на производство второго;

a21 – доля второго товара, затрачиваемая на производство первого;

a22 – доля второго товара, затрачиваемая на его же производство;

x1d – объем производства первого товара на другие нужды;

x2d – объем производства второго товара на другие нужды.

Приводимая простейшая балансовая модель представляет систему двух линейных уравнений относительно неизвестных x1 и x2.

Согласно условиям задачи a11== 0,1; a12 = 0,15; a21 = 0,2; a22 = 0,05; x1d =3300; x2d = 6600. В итоге приходим к системе уравнений баланса:

{x1 =0.1 x1 + 0.15 x2 + 3300

{x2 =0.2 x1 + 0.05 x2 + 6600

Решая систему, находим искомые объемы производства

x1 = 5000 единиц; x2 == 8000 единиц.

Исходная модель может быть использована и для решения других задач, неизвестными могут быть, например, x1 и x1d или x1d и x2d при заданных значениях других величин, входящих в модель.

откуда находим искомое значение x0, то есть оптимальный объем партии товара

x0 =

Это и есть решение задачи.

Например, если C1 = 6000 гривен за доставку партии товара, C2 = 300 гривен за хранение тонны товара на складе в течение суток, общий объем поставки Q = 100 тонн за время Т = 40 суток, то

X0 = тонн

то есть для минимизации затрат на доставку и хранение товара на складе надо поставлять его на склад партиями по 10 тонн в каждой партии.

Задача. Определить объемы производства товаров x1 и x2 при следующих условиях. Варианты заданий приведены в таблице

Варианты заданий

где

x1 – объем производства первого товара;

x2 – объем производства второго товара;

a11 – доля первого товара, затрачиваемая на его же производство;

a12 – доля первого товара, затрачиваемая на производство второго;

a21 – доля второго товара, затрачиваемая на производство первого;

a22 – доля второго товара, затрачиваемая на его же производство;

x1d – объем производства первого товара на другие нужды;

x2d – объем производства второго товара на другие нужды.

Расчет игровых моделей

Игровые экономико-математические модели представляют математическое описание экономических ситуаций, в которых происходит столкновение, противопоставление интересов двух или нескольких противоборствующих сторон (игроков), преследующих разные цели и действующих таким образом, что линия, способ действия одного из участников зависит от действий другого. Математическая модель подобной конфликтной ситуации получила название игры, участвующие в ней лица, противостоящие стороны именуются игроками, а исход противостояния сторон называют выигрышем и, соответственно проигрышем. Если выигрыш игрока равен проигрышу его противника, то такая игра двух лиц называется игрой с нулевой суммой или антагонистической.

Игровые модели позволяют участникам игры выбрать так называемую оптимальную стратегию, то есть установить в зависимости от складывающейся ситуации способ действий, позволяющий максимизировать возможный выигрыш или минимизировать возможный проигрыш. Наиболее постой вариант игры - парная конечная игра двух игроков, в которой каждый из них обладает выбором из конечного числа стратегий. Обрисуем модель такой игры в общих чертах, а затем приведем иллюстрированные примеры ее использования.

Предположим, что в игре участвуют игроки А и В. Игрок имеет в своем распоряжении n стратегий, способов действий: A1, A2,…….An а игрок В располагает возможностью реализовать m стратегий: B1, B2,…….Bm. В зависимости от того, какую стратегию Аi (i=1,2,...,n) выберет игрок А и какую стратегию Вj(j=1, 2,……m) выберет игрок В, зависит исход игры каждого из них, то есть выигрыш aij одного из игроков и, соответственно, проигрыш другого. Таким образом, любой паре стратегий (Аi, Вj) соответствует определенное значение выигрыша aij. В итоге совокупность всех возможных выигрышей в данной игре образует матрицу, столбцы которой соответствуют стратегии одного игрока, а строки - стратегии другого. Такую матрицу называют платежной матрицей или матрицей игры.

Общий вид платежной матрицы, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы - стратегиям игрока В, изображен на рис. 3.2.

Рисунок 3.2. - Платежная матрица парной игры

При выборе своей стратегии Аi из набора n возможных стратегий A1, A2,…….An игрок А должен учитывать, что его соперник В выберет в ответ стратегию Вj из набора возможных стратегий, стремясь свести выигрыш игрока А к минимуму. Пусть наименьший из всех возможных выигрышей игрока А при выборе им стратегии Аi , то есть наименьшее значение aij в "i" строке платежной матрицы равно ai то есть aj = min aij. Наибольшее из значений aj(i=1,2,…n) обозначим а, следовательно а = max aj Такое максимальное значение из набора минимальных выигрышей игрока, соответствующих всему спектру применяемых им стратегий, называют нижней ценой или максимальным выигрышем из минимальных - максимином. Максимин представляет гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В, так как игрок А может выбрать ту стратегию, которая приносит ему максимальный выигрыш из минимально возможных.

Игрок В, стремясь уменьшить выигрыш игрока А и понимая, что А стремится к максимальному выигрышу, выбирая свою контрстратегию Вj анализирует прежде всего максимально возможные выигрыши игрока А. Пусть среди всех выигрышей игрока А при выборе игроком В стратегии Вj максимально возможное значение равно bj, то есть bj = max bij. Наименьшее из всех возможных значений bj(j=1,2,…n) обозначим Ь, то есть b= min bj Такое минимальное значение из набора максимальных выигрышей игрока, соответствующее всему спектру применяемых им стратегий, называют верхней ценой игры или минимальным выигрышем из максимальных -минимаксом. Минимакс представляет неизбежный проигрыш игрока В при любой из стратегий игрока А, ибо игрок А будет, естественно, стремиться максимизировать проигрыш игрока В и соответствующим образом выбирать свою стратегию.

Известный в теории игр принцип минимакса рекомендует игрокам выбирать из соображений осторожности, уменьшения риска максиминную стратегию при стремлении получить наибольший выигрыш или минимаксную при стремлении минимизировать проигрыш. Проиллюстрируем это положение на простых примерах.