183752 (Математические методы экономики), страница 5

Графическая иллюстрация этого равенства показана на рис. 8.2, где предельные издержки есть возрастающая функция от объема производства, а предельный доход (цена) - убывающая функция того же аргумента.

Вернемся к монополии и проверим, будет ли цена, максимизирующая прибыль монополиста, подчиняться закону (8.1.2)?

В монополии , поэтому

Далее без потери общности будем считать .

Вычислим предельный доход

Заметим, что и в монополии цена убывает с ростом объема продаж, потому что фирма снижает цену, чтобы продать больше продукции. Поэтому и из (8.1.4) следует

Как видим, в случае монополии предельный доход меньше цены товара.

Проанализируем теперь издержки монополиста. Как и на конкурентном рынке, цены затрат являются функциями от объема затрат, т.е. , . Поэтому издержки на факторы производства выражаются как

Будем предполагать, что для всех .

Вычислим предельные издержки:

По рыночным законам фирма может покупать большее количество данного фактора производства, только предложив более высокую плату. Поэтому . Тогда из (8.1.6) следует

Таким образом, в случае монополии предельные издержки на факторы производства оказываются больше их цен.

Подставляя (8.1.3) и (8.1.5) в (8.1.1), получим оптимизационную задачу монополиста:

Подчеркнем еще раз, в отличие от задачи (8.1.1) фирмы на конкурентном рынке, в условиях задачи монополиста (8.1.7) все цены зависят от объемов продуктов.

Максимум функции прибыли P в задаче (8.1.7) вычисляется по m+1 переменной . Поэтому составим функцию Лагранжа

где - множитель Лагранжа. Выпишем необходимые условия оптимальности точки :

Отсюда имеем, в частности,

Сумма, стоящая в правой части равенства (8.1.8), есть предельный доход (см. (8.1.4)), а сумма, стоящая в правой части (8.1.9), - предельные издержки по производственному фактору j-го вида (см. (8.1.6)). Поэтому величина, стоящая в левой части (8.1.9), представляет собой произведение предельного дохода ( ) на предельный продукт j-го вида затрат ( ). Это произведение можно трактовать как предельный доход j-го вида затрат.

Исключая из системы необходимых условий множитель Лагранжа , получаем

Пользуясь равенствами (8.1.4) и (8.1.6), перепишем эту систему в виде

Оценим отношение предельной стоимости затрат на предельный продукт

Во-первых, как следует из (8.1.10), эта величина для всех j одна и та же. Во-вторых, издержки можно представить как функцию от выпуска, т.е. . Поэтому, пользуясь равенством (8.1.11), можно формально написать

Так как эта величина одна и та же для всех j, то, опуская индекс, из системы (8.1.10)-(8.1.11) получаем

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, монополист должен достичь такого уровня выпуска, при котором предельный доход равен предельным издержкам.

Для монополиста мы получили такое же правило оптимального поведения, что и любая фирма в условиях конкурентного рынка. Однако в случае монополии

и поэтому оптимальная цена товара отличается от выражения (8.1.2) в сторону повышения. А именно, через предельный доход она выражается как

а через предельные издержки -

Олигополия.

На практике рыночной властью, т.е. властью над ценообразованием, обладают не только фирмы, являющиеся чистыми монополистами. Во многих отраслях экономики конкурирует небольщое число фирм, каждая из которых обладает некоторой рыночной властью. Таковы, например, крупные металлургические комбинаты России (КМК, Запсиб, Магнитка и др.).

В этом и следующих параграфах мы изучим рыночные механизмы в условиях олигополии, т.е. когда на рынке товара конкурирует небольшое число фирм. Рыночная власть и прибыль олигополистов частично зависят от того, как они взаимодействуют между собой. В некоторых олигопольных отраслях фирмы агрессивно конкурируют, а в других сотрудничают. Естественно, конкуренция приводит к снижению цен, а имея тенденцию к сотрудничеству, фирмы могут назначить цены выше предельных издержек и получить большую прибыль.

Крайнюю форму сотрудничества представляет собой картель. На картельном рынке некоторые или все фирмы вступают в сговор по поводу захвата рынка. Определяя сообща цены товара и объемы продаж, они максимизируют свои прибыли. Картель отличается от монополии тем, что не может контролировать весь рынок товара по причине наличия фирм, не входящих в картель. Другая причина отличия - в нестабильности картеля как структуры, состоящей из фирм, преследующих каждая свои интересы.

Олигополия является преобладающей формой современной рыночной структуры. На олигопольных рынках несколько фирм производят всю или почти всю продукцию. Чем шире олигополия, тем сложнее принятие экономических решений для фирм. Поэтому они могут предпринять стратегические усилия, чтобы затруднить вступление на рынок новых фирм.

Олигополист принимает решение по установлению цены и объема выпускаемой им продукции. Экономическое решение олигополиста складывается сложнее, чем монополиста, так как имеет место конкуренция между несколькими фирмами. Поэтому фирма должна тщательно взвесить свои решения с точки зрения реакции соперников. Стратегические соображения должны быть глубокими и всесторонними. Каждая фирма учитывает реакцию конкурентов, зная, что те, в свою очередь, тоже будут взвешивать ее реакцию на их собственные решения. При этом фирма должна принимать во внимание возможность восстановления ее стратегических рассуждений конкурентами, и потому она должна поставить себя на место конкурентов и поразмыслить, какова бы была их реакция. Именно с позиций такой рекомендации разрабатываются принципы оптимального поведения олигополистов. Некоторые из них мы рассмотрим в следующих параграфах. Здесь мы займемся моделированием задачи олигополиста и олигопольного рынка в целом.

Определяющим свойством олигопольного рынка является то, что все конкурирующие фирмы могут влиять на цены продукции и затрат. Следовательно, прибыль каждой фирмы зависит и от экономических решений всех остальных фирм. Каково будет в этих условиях оптимальное решение олигополиста по объему выпуска и цене товара? Для получения ответа на этот вопрос необходимо построить математическую модель олигополиста и решить совместно систему, состоящую из задач всех конкурирующих между собой фирм.

Обозначим через n число олигополистов и предположим, что все они выпускают один и тот же товар, применяя m видов затрат. Заметим, что при этом продукции разных фирм могут отличаться рядом признаков (качеством, оформлением и т.д.).

Согласно описания олигополии, цена товара (p) определяется объемом всех выпусков , а цена затрат ( ) - объемом затрат всех фирм :

При возрастании выпусков цены понизятся. Поэтому

Аналогично, если фирмы увеличат покупки производственных факторов, произойдет повышение их цен. Поэтому

Пусть - производственная функция i-го олигополиста. Тогда производство описывается системой из n уравнений

Так как все олигополисты действуют на рынках одних и тех же товаров, то

Задача i-го олигополиста может быть сформулирована следующим образом:

Здесь - матрица затрат, - вектор выпусков. Максимизация функции прибыли осуществляется только по переменным , выбором значений которых распоряжается i-ый олигополист.

Из вида целевой функции задачи (8.2.1) приходим к выводу, что максимизация прибыли зависит не только от экономического решения i-го олигополиста, но и от действий его конкурентов, распоряжающихся выбором .

Модель олигополии в целом имеет вид:

Такого рода модели называются конфликтными задачами принятия решения или играми n лиц. Конфликтный характер принятия решения здесь заключается в том, что каждая целевая функция зависит от экономических решений всех олигополистов. Поэтому для нахождения оптимальных решений олигополистов наиболее подходящим аппаратом является теория игр. В частности, при отсутствии как антагонистического противостояния, так и сговора между фирмами, их оптимальные стратегии могут быть определены, исходя из принципа равновесия по Нэшу.

Дуополия.

Предположим, что имеется всего две конкурирующих по выпуску одного и того же товара фирмы. Это есть частный случай олигополии, называемый дуополией. Обе фирмы принимают решения по объему выпуска одновременно и тайно друг от друга, и конечная цена товара зависит от совокупного объема производства этих фирм. То есть, как и в олигополии, дуополисты имеют частичную рыночную власть (частичное влияние на цену товара).

Модель дуополии впервые рассматривал французский экономист О. Курно еще в тридцатых годах прошлого столетия. Подход Курно основывается на гипотезе о том, что свое экономическое решение каждая фирма принимает в предположении о постоянном объеме производства своего конкурента. Иными словами, дуополист считает, что конкурент не реагирует на его выпуск. Чтобы лучше понять, как это происходит, рассмотрим пример. Предварительно заметим, что в дуополии фирма ориентируется на ту часть рыночного спроса, которая не обеспечена предложением другой фирмы. Поэтому для фирмы очень важно правильно оценить спрос населения на ее товар и объем производства конкурента.

Математическую модель дуополии получим как частный случай задачи (8.2.2) при n=2 :

где - матрица затрат, - вектор выпусков,

Как и в олигополии,

Для вычисления оптимальных выпусков дуополистов имеется 2(m+1) условий вида (8.2.3):