183698 (Лінійна модель виробництва), страница 2

;

2) матриця невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця й всі її елементи невід’ємні:

3) матричний ряд збігається, причому

.

4) максимальне власне число .

Повернемося до системи рівнянь (7). За заданим вектором потрібно знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де – одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то відповідно до умови 2) матриця існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь (7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що й , .

Особливістю матриці в моделі Леонтьєва є те, що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо їх в наступному підрозділі.

4. Властивості невід’ємних матриць

Нехай – квадратна матриця розміром з невід’ємними елементами , ; підмножина множини натуральних чисел . Говорять, що ізольовано (щодо даної матриці ), якщо в матриці при , .

Мовою моделі Леонтьєва ізольованість множини означає, що галузі з номерами під час свого функціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що утвориться галузями з множини , може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця матиме вигляд

,(8)

де й – квадратні підматриці розмірів і відповідно, – .

Матриця називається нерозкладною, якщо в множині немає ізольованих підмножин, крім самої і порожньої множини.

Інакше кажучи, матриця нерозкладна, якщо одночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).

Нерозкладність матриці в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.

Розглянемо деякі властивості нерозкладних матриць:

1. Нерозкладна матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок матриці нульовий, то множина ізольована.

2. Якщо – нерозкладна й то .

Теорема Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця має таке власне число , що й модулі всіх інших власних чисел матриці не перевищують ; числу відповідає з точністю до скалярного множника власний вектор , всі координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .

4. Лема: нехай – нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора є нульові координати та , тоді у вектора знайдеться додатна координата , причому .

5. Лема: якщо матриця нерозкладна, , , то з нерівності випливає, що , .

5. Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат

Нехай розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному виразі .

Для виробництва одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити набір продуктів , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору необхідно безпосередньо затратити набір продуктів, який ми позначимо через .

Елементи вектора витрат називаються коефіцієнтами непрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту .

Матриця , складена зі стовпців , , називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули

.

Непрямими витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих витрат першого порядку, тобто , або в матричній формі

де – матриця коефіцієнтів непрямих витрат другого порядку.

Продовжуючи за аналогією, назвемо непрямими витратами порядку прямі витрати на забезпечення непрямих витрат порядку . Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го порядку одержимо, помноживши на

. (9)

Визначимо тепер повні витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього матриця , складена з коефіцієнтів повних витрат, утвориться як сума

(10)

або з огляду на те, що , маємо

(11)

Коефіцієнти прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних зв'язків між галузями.

З'ясуємо такий момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно великими?

Розглянемо матрицю

.

Очевидно, що елементи матриці скінченні разом з елементами матриці тільки в тому випадку, якщо скінченна сума ряду . Крім того, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому . Отже, у випадку продуктивності матриці й тільки в цьому випадку матриця повних витрат скінченна, її визначають відповідно до формули

.

Для великих значень важко обчислити зворотну матрицю. В цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації , на другій ітерації , на третій , на -й ітерації . Часткова сума відрізняється від часткової суми на величину . Через те що ряд збігається, при . Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.

Коефіцієнти матриці мають таку економічну інтерпретацію: якщо випуск кінцевого -го продукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск -го продукту має бути збільшений на .

6. Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів

Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості. Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.

Розглянемо проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі Леонтьєва.

Зіставимо кожній -ї галузі число , що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.

Нехай – вектор прямих витрат праці й – матриця прямих матеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду необхідно безпосередньо затратити набір продуктів і працю в кількості . Однак на виробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити одиниць праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю -го продукту й позначається через .

Вектор непрямих витрат праці першого порядку визначається таким виразом: .

Міркуючи аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор непрямих витрат праці порядку визначається таким співвідношенням:

або .

Повні витрати праці є сумою прямих і непрямих витрат праці

.

У матричному записі, вважаючи, що і, з огляду на те, що , маємо

або .

Якщо матриця продуктивна, то суму в дужках можна замінити на й, отже, – матриця повних витрат праці.

Зменшення повних витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці використовують ітераційну процедуру

,

що дозволяє з заданою точністю визначити дані коефіцієнти.