183682 (Финансовая рента), страница 2

где - коэффициент дисконтирования обычной p - срочной ренты при непрерывном начислении процентов.

Заметим, что так как

,

где - коэффициент дисконтирования p - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то

.

Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

.

Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида:

= ,

= .

Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений.

Так как

,

где i ^{(p) -} эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то

.

С другой стороны,

.

Следовательно

, (19)

где , - коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов.

Равенства (19) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:

и .

Тогда

= = . (20)

где - эквивалентная учетная ставка.

Из (19), (20) получаем

, (21)

где - эквивалентная номинальная учетная ставка.

Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д. е. на протяжении n лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.

Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.

Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной. Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти.

Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:

.

Для такой же ренты пренумерандо:

.

Кроме того, .

Таким образом, , , . (21)

Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем:

, , . (22)

Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной. Современная стоимость отсроченной ренты A_t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,

,

где , , - дисконтные множители k - го платежа на временных отрезках [0, t_k], [t, t_k], [0, t] соответственно. Так как , то A - стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты.

Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты.

Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:

, (23)

Рассмотрим зависимость коэффициентов наращения ренты от срока ренты и процентной ставки.

Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.

Имеем , .

Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты .

.

Очевидно, - возрастающая функция i, что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента i (рис.1).

Р
ис.1.

3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты .

.

Очевидно, - убывающая функция i, что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как и , то - убывающая выпуклая функция аргумента i (рис.2).

Рис. 2

Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты .

, где .

Так как и , то - возрастающая выпуклая функция аргумента n (рис.3).

s_n,i

0

Рис. 3

Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты .

,

где .

Так как и (вечная рента), то - возрастающая вогнутая функция аргумента n (рис.4).

Рис.4

Эти свойства используются в задачах на определение параметров ренты.

Задача.

Раскрой материала.

На раскрой (распил) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна (построить математическую модель в общем виде).

Решение:

Пусть поступает в раскрой m различных материалов.

Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b₁, b₂,., b_k (условия комплектности).

Пусть каждую единицу j-го материала j=1,., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i-го способа раскроя, i=1,., n получим а_ij единиц k-го изделия.

Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j-го материала составляет а_j единиц.

Обозначим через x_ij количество единиц j-го материала, раскраиваемых i-м способом, а через x-общее количество изготавливаемых комплектов.

Математическая модель этой задачи имеет такой вид:

максимизировать x (1)

при условиях

Условие 2 означает ограничение на запас j-го материала, а условие 3 - условие комплектности.

Список используемой литературы

1. Багриновский К. Матюшок В. Экономико-математические метода и модели: Учебник / К. Багриновский, В. Матюшок. - М.: Экономистъ, 1999. - 185с.

2. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник / П.П. Бочаров, Ю.Ф. Касимов. - М.: Гардарики, 2002. - 624с.

3. Кузнецов Б.Т. Финансовая математика: Учебное пособие / Б.Т. Кузнецов. - М.: Экзамен, 2005. - 128с.

4. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 1998. - 304с.

5. Лукашин Ю.П. Финансовая математика: Учебное пособие / Ю.П. Лукашин. - М.: МФПА, 2004. - 81с.

6. Малыхин В.И. Финансовая математика / В.И. Малыхин. - М.: Юнити - Дана, 2003. - 237с.

7. Меньшиков С. Рентабельность и рента / С. Меньшиков // Экономическое стратегии. - 2004. - №1. - с.28-31.

8. Четыркин Е.М. Финансовая математика / Е.М. Четыркин. - 4-е изд. - М.: Дело, 2004. - 400с.