183452 (Економіко-математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів), страница 3

(5)

та знайдено її точний розв’язок:

(6)

тобто

(7)

де

Відповідні стратегії хеджування обчислюються за формулами, аналогічними формулам (4).

Проведене в роботі дослідження характеру впливу операційних витрат на вартість опціону дозволило зробити наступні висновки. Було з’ясовано, що при відсутності операційних витрат, тобто при λ = 0, ціна опціону може розраховуватись за формулою Блека-Шоулза (3). Врахування майбутніх операційних витрат призводить до збільшення початкової премії за опціон і, як наслідок, зростає ціна опціону в кожний момент часу. Чим більшими є операційні витрати, тим більшою є ціна опціону.

Також досліджувалось питання, настільки суттєвим є вплив операційних виплат на ціну опціону. Це питання зводиться до оцінки функції Δ (x,t) =C^λ (x,t) −C_BS (x,t) та характеру її залежності від параметрів. Максимальне значення по t функція Δ (x,t) набуває при t=0 при будь-яких фіксованих значеннях параметрів T, K, r, σ, λ:

max{Δ (x,t), tÎ [0, Т] }=Δ (x,0)

Тому замість оцінки функції Δ (x,t) оцінювалась функція δ^λ (x): =Δ (x,0).

В результаті автором були встановлені, математично доведені і економічно обґрунтовані наступні закономірності:

Зростання волатильності базового активу σ спричиняє збільшення впливу операційних витрат на ціну опціону, тобто

для будь-яких фіксованих значень Т, K, r, λ.

Зростання самих операційних витрат λ призводить до збільшення їх впливу на ціну опціону, тобто

для будь-яких фіксованих значень Т, K, r, σ. Зменшення безризикової ставки спричиняє зростання впливу операційних втрат і вплив операційних втрат є найбільшим, коли ставка дорівнює нулю, тобто

для будь-яких фіксованих значень Т, K, σ, λ.

Збільшення ціни реалізації K приводить до збільшення впливу операційних витрат, тобто

для будь-яких фіксованих значень Т, r, σ, λ.

При збільшенні строку дії Т опціонного контракту при невеликих значеннях безризикової ставки r вплив операційних витрат зростає, тобто

для будь-яких фіксованих значень K, σ, λ.

Виявлені закономірності свідчать, що вплив операційних витрат є вагомим і їм не можна нехтувати, особливо враховуючи те, що при великих обсягах торгівлі навіть невеликі значення корекцій C^λ −C_BS суттєво впливають на кінцевий результат. Тому запропонована автором модель має важливе значення для правильної оцінки опціону, оскільки враховує ціну виконання продавцем опціону хеджуючих стратегій і, таким чином, дозволяє знизити ризики, пов’язані з продажем опціону.

Інша проблема, пов’язана з програмною торгівлею, викликана появою ефекту зворотнього зв’язку. Модель, що враховує наявність на ринку програмної торгівлі, була отримана К. Сіркаром та Дж. Папаніколау:

де ρ - питома вага програмних торговців на ринку, ε - коефіцієнт згладжування, що знаходиться з наступного рівняння:

Наведена нелінійна кінцево-крайова задача немає точного розв’язку.

В дисертації запропоновано метод знаходження наближеного аналітичного розв’язку при довільному значенні питомої ваги програмної торгівлі, який базується на комбінації методів Роте та Бубнова-Гальоркіна.

Ідея методу знаходження наближеного аналітичного розв’язку полягає в розбитті часу дії опціону на n рівних частин.

На кожному і-ому часовому шарі наближений розв’язок шукається у вигляді:

а відповідні коефіцієнти А_і з умови, щоб нев’язка

задовольняла наступну умову:

M>0 - деяке достатньо велике число, яке залежить від К, і таке, що C (x,t) =C_BS (x,t) = x-Ke^{-r (T-t)} при х ≥ М.

Отримані формули для знаходження коефіцієнтів А_і дозволяють знаходити значення ціни опціону на будь-якому часовому шарі.

В результаті проведеного дослідження було з’ясовано, що наявність на ринку програмної торгівлі спричиняє зростання ціни опціону і чим більшою є питома вага програмних торгівців, тим більший ефект зворотнього зв’язку. Зауважимо, що оскільки в нашій країні ринок строкових контрактів лише формується, на ньому ще немає торговців цінними паперами, які б вели програмну торгівлю, тобто ρ=0. В розвинених країнах відсоток цих торговців є значним і тому, як показують отримані результанти, їм не можна нехтувати.

У розділі 3 “Реалізація розроблених моделей ціноутворення з використанням сучасних інформаційних технологій” проілюстровані закономірності, властиві процесу ціноутворення для опціонів з різними параметрами, та проведена числова апробація запропонованих моделей на прикладі фондових і валютних опціонів, які використовуються на фінансовому ринку України.

Побудовані графіки відображають основні властивості функції ціни опціону та дозволяють проводити якісний аналіз цінових процесів, які відбуваються на ринку опціонів. Отримані емпіричні результати підтверджують теоретичні висновки, зроблені у розділі 2, надають уявлення про характер впливу параметрів опціону на процес ціноутворення і на формування хедж-портфелю та дозволяють використовувати при розрахунках метод номограми.

В основу дослідження покладено європейський опціон на купівлю однієї акції з наступними параметрами: K_s = 5, r_s = 0.04, Т_s = 0.5, σ_s = 0.4. На рис.1 представлений графік функції C_BS та γ_BS для опціону Ō_s = {σ_s, r_s, K_s, T_s}.

Рис.1. Графіки функцій C_BS та γ_BS для опціону Ō_s

Цей рисунок ілюструє, що функція C_BS є монотонно зростаючою по х. При t = Т графік ціни опціону є ламаною лінією − графіком функції max{0, x − K}; з наближенням до t = 0 графік згладжується, проте його характер не змінюється. Аналіз впливу зміни параметрів опціону на функцію C_BS свідчить, що загальна поведінка функції не змінюється. Графіки функцій C^λ та Ĉ і подібні до графіка C_BS і лежать вище нього. Рис.2 та рис.3 ілюструють вплив операційних витрат та програмної торгівлі на ціну опціону.

Рис.2. Графік різниці функцій C^λ і C_BS при λ = 0,01 ₍2.1) та його перетини при t₁=Т/4, t₂=Т/2, t₃=3Т/4 (2.2)

Аналіз рис.2 підтверджує властивості, аналітично отримані у розділі 2:

ціна опціону, яка враховує майбутні витрати, завжди більша за ціну опціону, розраховану за формулою Блека-Шоулза.

операційні витрати спричиняють найбільший вплив на зростання ціни опціону в момент укладання угоди. З часом вплив операційних витрат зменшується.

Аналогічним чином на ціну опціону впливає наявність на ринку програмної торгівлі, про що свідчить рис.3.

Рис.3. Графіки різниці функцій Ĉ і C_BS при ρ = 0,01 та при t₁=Т/4 (3.1), t₂=Т/2 (3.2), t₃=3Т/4 (3.3)

Результати отримані за допомогою програмного комплексу, розробленого автором в математичному редакторі Mathematica3.0.

З метою з’ясування можливості використання на фінансовому ринку України моделей прогнозування ціни опціону в роботі проведена числова апробація отриманих результатів.

У якості прикладу були розглянуті два типи опціонів:

фондовий опціон: базовий актив - акції Центренерго, ціна базового активу - найкраща ціна акції за день;

валютний опціон: базовий актив - американський долар, ціна базового активу - курс гривні щодо долара США.

У якості ціни реалізації приймалось майбутнє значення ціни базового активу, спрогнозоване на основі попередніх даних. На рис.4 наведені графіки, які ілюструють динаміку цін на базовий актив і опціон і визначаються за допомогою формули (7) при λ = 5% для одного з валютних опціонів.

Рис.4. Динаміка курсу гривні щодо долара США та ціни валютного опціону.

При дослідженні впливу операційних витрат, були проведені підрахунки суми комісійних, які повинен сплачувати продавець опціону. З’ясувалось, що початкова премія за опціон, яка була розрахована на підставі скорегованої моделі, перевищує суму сплачених комісійних та премії, розрахованої за формулою Блека-Шоулза, тобто вона з незначним перебільшенням враховує майбутні комісійні.

З метою виявлення характеру впливу програмної торгівлі були побудовані порівняльні графіки функцій, розрахованих за існуючими формулами Блека-Шоулза і Сіркара-Папаніколау та за формулою, запропонованою автором. Отримані результати ілюструють, що врахування ефекту зворотнього зв’язку приводить до значного збільшення ціни опціону. Причому, чим більше значення параметра ρ, тим більш відчутним є цей вплив. З наближенням дати реалізації опціону цей вплив стає менш відчутним і наприкінці дії опціону він зникає.

ВИСНОВКИ

В дисертації проведено комплексне дослідження процесу формування ціни на ринку опціонів, що базується на поєднанні фінансового та економіко-математичного аналізу. Розроблені методи дозволяють визначати ціну опціону і, відповідно, стратегію хеджування ризиків за наявності операційних витрат та програмної торгівлі. Результати вирішення поставлених у дисертації завдань дозволяють зробити наступні висновки:

Аналіз сучасних підходів щодо визначення місця ринку деривативів в структурі фінансового ринку свідчить, що це питання потребує подальшого осмислення в економічній науці. На думку автора, цей ринок можна одночасно вважати як частиною фінансового ринку, так і надбудовою над товарним і всіма секторами фінансового ринку. Тому, з одного боку, механізми та закони функціонування ринку строкових контрактів пов’язані з фінансовим ринком, а, з іншого боку, ситуація на ринку деривативів впливає на ситуацію на товарному та фінансовому ринках, а звідси, на всю економіку взагалі.

Ситуація на сучасному фінансовому ринку України свідчить про те, що ринок деривативів не виконує достатньою мірою свої функції в економіці. Це пов’язано з тим, що на даний час ринок строкових контрактів практично лише формується. Як показує проведене дослідження, основними причинами цього є обмежена насиченість ринку ресурсами та недостатня кількість підготовлених спеціалістів. Забезпечення фахівців з фондового ринку інструментарієм економіко-математичного аналізу ситуації на ринку опціонів, який відіграє важливу роль в стабілізації економіки, є важливим завданням фінансової математики.

Порівняльний аналіз методів моделювання економічних процесів свідчить, що найповніше відображають суть процесів, які відбуваються на фінансових ринках, методи фінансової математики, що базуються, зокрема, на ймовірносному підході до визначення цін на активи. За допомогою цього підходу враховується фактор недетермінованості та конфліктності соціально-економічних процесів, зокрема, щодо здійснення точного прогнозу темпів інфляції, кон’юнктури ринку, науково-технічного прогресу тощо.

Проведене нами дослідження моделей визначення ціни опціону та взаємозв’язків між ними виявило, що всі вони базуються на однакових припущеннях щодо особливостей цінового процесу базового активу, можливості формування портфелю, який відображає виплати за опціоном, та відсутності умов проведення арбітражних угод. Серед них найбільш загальним є клас моделей, що ґрунтується на мартингальному підході. Водночас на практиці найчастіше використовується біноміальна модель та, переважно, модель Блека-Шоулза. За допомогою останньої можна не тільки визначити ціну опціону в будь-який момент дії контракту, а й визначати стратегії хеджування ризиків, пов’язаних з продажем опціону.

Для аналізу існуючих моделей та для подальшої побудови нових нами була визначена, систематизована, економічно обґрунтована та математично доведена система обмежень, які повинні виконуватись для значень функції ціни опціону.

При вивченні проблем формування хедж-портфелю було з’ясовано, що в більшості розширень моделі Блека-Шоулза вартість безризикових облігацій, які входять до портфелю, завжди є від’ємною величиною. Дослідження цього питання привело до висновку, що еквівалентом від’ємної вартості облігацій є відповідний обсяг банківського кредиту. На підставі цього була розроблена корекція щодо структури хедж-портфелю, який повинен складатись із базового активу та залучених коштів у вигляді кредиту.