183452 (Економіко-математичне моделювання процесу ціноутворення на ринку опціонів), страница 2

У розділі 1 “Дослідження фінансово-економічних засад побудови математичних моделей процесу ціноутворення опціонів” визначено місце ринку строкових контрактів в структурі економіки країни та зв’язки з іншими секторами економіки, в результаті чого виявлені основні економічні чинники, які впливають на процес формування ціни деривативів; обґрунтована необхідність проведення в Україні економіко-математичних досліджень цінових процесів, що відбуваються на ринку строкових контрактів; проаналізовані математичні методи, що дозволяють прогнозувати ціну опціону.

На даний час в українській економічній літературі відображені досить різні погляди вчених на місце ринку строкових контрактів в економічній системі. Багато економістів вважає, що ринок деривативів є сегментом фінансового ринку. Це визначається наступними факторами:

деривативи є предметом торгівлі на фінансовому ринку;

деривативи являють собою контракт, ціна якого формується під впливом попиту і пропозиції;

за організацією свого функціонування деривативи пов’язані з інфраструктурою ринку цінних паперів.

Водночас, в результаті аналізу сутності похідних цінних паперів автором зроблений висновок, що строкові контракти є особливою формою торгівлі. Предметом торгівлі можуть бути як фінансові ресурси (грошові кошти, зокрема, валюта, цінні папери, майбутні ставки за кредитом, і власне деривативи), так і товари та послуги. Тому строковий ринок являє собою надбудову над фінансовим та товарним ринками.

З такого особливого положення строкового ринку в структурі економіки випливає існування прямого та зворотнього зв’язку між процесами, що відбуваються в економіці та процесами на ринку деривативів. Прямий вплив виражається у залежності ціноутворення на строкові контракти від особливостей цінового процесу базового активу, ситуації на кредитному ринку (зокрема, розміру облікової ставки центрального банку), які в свою чергу залежать від загальноекономічної ситуації в країні. Зворотній вплив виражається у виконанні ринком строкових контрактів, особливо ринком опціонів, своїх функцій в економіці: стабілізуючої, координуючої та інформативної. Наявність ефективно функціонуючого строкового ринку є одним із основних факторів, що визначають стабільність економіки в цілому.

Оскільки досягнення економічної стабільності є одним із найважливіших завдань подальшої ринкової трансформації в Україні, в роботі досліджено сучасний стан та перспективи розвитку ринку строкових контрактів в нашій державі. На підставі проведеного аналізу було визначено, що рівень розвитку будь-якого ринку залежить від ступеня насиченості відповідними ресурсами; досконалості нормативно-правової бази; рівню розвитку інфраструктури; достатньої кількості висококваліфікованих учасників ринку.

На даний час в Україні створені відповідна законодавча база та досить розгалужена інфраструктура фінансового ринку, які здатні забезпечити ефективне функціонування ринку деривативів. Проблема насиченості ринку ресурсами буде вирішуватись разом із поглибленням розвитку ринкових відносин в нашій країні. Підготовка ж фахівців із строкового ринку повинна відбуватись вже зараз. Однією з важливих складових їх освіти є оволодіння сучасними методами прогнозування ситуації на ринку, у першу чергу, заснованими на економіко-математичному моделюванні.

Вивчення зарубіжного та вітчизняного досвіду економіко-математичного моделювання привело до висновку, що в умовах ринкової економіки для моделювання цінових процесів переважно використовуються методи фінансової математики, що ґрунтуються на теорії випадкових процесів. Одним з напрямків фінансової математики є дослідження процесу формування цін на деривативи. На підставі дифузійної моделі ринку Ф. Блеком та М. Шоулзом була розроблена модель визначення ціни опціону. Використання отриманих цими вченими результатів при формуванні стратегій хеджування набуло значного поширення серед учасників ринку, що спричинило зворотній вплив на процес ціноутворення опціону.

У розділі 2 “Побудова та дослідження динамічних моделей визначення ціни опціону з урахуванням особливостей програмної торгівлі” досліджені сучасні моделі прогнозування ціни опціону (біноміальна, лог-нормальна, мартингальна, Блека-Шоулза). На підставі проведеного аналізу побудовані моделі, що дозволяють визначити ціну опціону при наявності програмної торгівлі на ринку та операційних витрат, пов’язаних з реалізацією хедж-стратегій продавцем опціону. В процесі дослідження економічних властивостей ціни опціону автором була систематизована, математично сформульована та економічно обґрунтована система обмежень, що накладається на функцію ціни опціону. Зокрема, для ціни європейського опціону на купівлю у випадку, коли за базовим активом не сплачуються дивіденди, мають місце наступні обмеження:

" x≥0, "tÎ [0,T] х − Ke ^{−r (T−t)} ≤ C (x,t) ≤ x

де х − ціна базового активу; t − час, що пройшов з моменту укладення опціонної угоди; C (x,t) − функція залежності ціни опціону на купівлю від ціни базового активу x та часу t; T − час дії опціонної угоди, вимірюється в роках; K − ціна реалізації опціону; r − безризикова ставка, що неперервно нараховується.

В основі всіх існуючих моделей визначення ціни опціону лежать припущення щодо відсутності умов для укладання арбітражних угод та можливості формування нейтрального до ризику портфелю, який відображає виплати за опціоном й зміни цін на активи та опціони.

В результаті проведеного порівняльного аналізу сучасних підходів до прогнозування ціни опціону з’ясувалось, що найбільш загальним є підхід, заснований на теорії мартингалів, на основі якого можливо визначати ціну опціону будь-якого типу з будь-якою функцією виплат. На практиці широкого застосування набули модель Блека-Шоулза та її дискретний по часу випадок - біноміальна модель.

Визначення справедливої ціни має важливе значення в опціонній торгівлі. Це пов’язано з багатьма чинниками, в першу чергу з необхідністю виконання ринком строкових контрактів інформативної та координуючої функцій. Крім того, формування стратегій хеджування продажу опціону базується на інформації про майбутню ціну. Особливого значення в сучасних умовах набуло врахування додаткових чинників, які суттєво впливають на адекватність моделі. Тому предметом нашого дослідження стала методологія визначення справедливої ціни опціону із урахуванням особливостей програмної торгівлі.

При дослідженні запропонованих М. Блеком та Ф. Шоулзом методів прогнозування ціни опціону було з’ясовано, що в основі побудови моделі лежало припущення щодо можливості формування хедж-портфелю із базового активу та безризикових облігацій. Зауважимо, що на цьому припущенні базується побудова більшості моделей визначення ціни опціону. При застосування цієї моделі за таких припущень було виявлено, що кількість облігацій в хедж-портфелі завжди є від’ємною величиною. Економічно, від’ємна кількість облігацій в портфелі означає, що в початковий момент треба продати (а не купити) необхідну кількість облігацій, щоб за отримані кошти і опціонну премію купити базовий актив. Оскільки у продавця опціону облігацій для продажу може і не бути, то еквівалентом цієї операції пропонується розглядати отримання банківського кредиту.

Щоб усунути виявлений недолік, автором запропоновано скорегувати базові припущення щодо структури ринку і, відповідно, хедж-портфелю таким чином:

Як і в інших моделях припускається, що на ринку обертаються акції з ціновим процесом {X_t, t≥0}, який підпорядковується рівнянню

dX_t = μX_t dt + σX_t dW_t (1)

де {W_t, t≥0} − стандартний броунівський рух; μ, σ = const, μ − коефіцієнт росту, σ − коефіцієнт волатильності ціни базового активу. Припускається, що Х₀>0 і за акціями не виплачуються ніякі дивіденди при 0 ≤ t ≤ T.

Замість того щоб припускати обіг на ринку безризикових облігацій, автором припускається, що у банку в момент укладання угоди можна отримати довільну кількість кредитів на суму B₀>0 кожний під безризикову ставку r, що неперервно нараховується і є сталою величиною. Позичену суму разом з нарахованими відсотками необхідно повернути наприкінці дії опціонного контракту. Обсяг кредитного боргу B_t в момент часу t становить B₀e^rt.

У відповідності з цією корекцією припускається, що в момент часу t=0 укладається опціонний контракт європейського типу на купівлю однієї акції з ціною реалізації К та строком дії Т; при цьому покупцем опціону виплачується премія С₀, що становить вартість опціону в початковий момент часу. Продавець опціону бере β₀ кредитів на суму B₀ кожний і інвестує отримані за кредитом кошти і премію за опціоном в γ₀ акцій. Таким чином, в початковий момент часу формується портфель π₀ = (β₀, γ₀), такий, що його вартість становить Π₀ = γ₀X₀ − β₀B₀ і дорівнює С₀. Перед продавцем опціону постають два питання: якою має бути премія С₀; якої стратегії хеджування слід дотримуватись при торгівлі цінними паперами, тобто якими мають бути коефіцієнти β_t і γ_t в кожний момент часу дії опціонного контракту, щоб вартість портфеля π_t, сформованого на основі цієї премії та з цими траекторіями коефіцієнтів хеджування, в момент часу Т дорівнювала виплатам по опціону, тобто Π_T ≡ γ_TX_T - β_TB_T = max{0, x − K}.

На підставі запропонованих автором припущень та з урахуванням обмежень на ціну опціонну отримана модель, яка співпадає з моделлю Блека-Шоулза:

(2)

Її точний розв’язок має вигляд:

(3)

де

Проте структура хедж-портфелю у відповідності із зробленою корекцією змінюється таким чином: в кожний момент часу t необхідно тримати портфель, у якому буде β (Х_t, t) кредитів та γ ₍Х_t, t) акцій, де Х_t − ціна акції в момент часу t, і функції β та γ визначаються за формулами:

(4)

Легкість та ефективність застосування на практиці результатів, отриманих Ф. Блеком та М. Шоулзом, обумовило появу на ринку програмної торгівлі, тобто торгівлі деривативами, хеджування яких відбувається за допомогою формування портфелю із структурою, що розраховується за формулами, аналогічними формулам (4).

Аналіз особливостей ведення програмної торгівлі показує, що існують деякі проблеми, які не враховані в класичній моделі Блека-Шоулза - проблема операційних витрат та наявності ефекту зворотнього зв’язку. Перша проблема пов’язана з тим, що при реалізації стратегій хеджування, тобто при динамічній зміні кількості базового активу у хедж-портфелі, продавець опціону має певні операційні витрати (маржа, комісійні, податки). На основі аналізу характеру їх оплати зроблено висновок, що найбільш впливовими є комісійні, які сплачуються посередникам за операції купівлі-продажу базового активу на ринку і становлять певний відсоток від суми транзакції. З урахуванням умови сплати комісійних у розмірі λ відсотків, автором отримано наступну модель визначення ціни опціону: