~1 (Решение многокритериальной задачи линейного программирования), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Решение многокритериальной задачи линейного программирования", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "экономико-математическое моделирование" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "экономико-математическое моделирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "~1"
Текст 3 страницы из документа "~1"
Т4 | 1 | 1 | 1 |
3 | 0 | ||
x2 | 1 | ||
2 | 0 | ||
x1 | 1 | ||
| -5/3 | -2/3 | 0 |
1 Dx, так как max = 0.
Данный метод построения множества Dx обладает недостатком, связанным с разрушением области допустимых решений (ОДР) Dx при переносе ее граней в х,. Действительно, вершины области Dx в преобразованной модели никак не отражены, а именно одна из них может составить -множество в случае его совпадения с оптимальным решением. Такое совпадение возможно, если все ч-критерии достигают максимум на одной вершине. Физически это значит, что они слабопротиворечивы – угол при вершине д-конуса приближается к 180 (градиенты ч-критериев имеют практически совпадающие направления). Данный случай имеет место, если в -множество не вошла ни одна из граней ОДР Dx. Следовательно, -множество совпадает с оптимальным решением. Для определения -множества решается обычная ЗЛП с одним из ч-критериев. Если при этом получено множество оптимальных решений, то решается ЗЛП с другим ч-критерием. Пересечение оптимальных решений и является -множеством. Для ЛПР указание на то, что некоторая грань i = i Dx -оптимальна, является только обобщенной информацией.
4.Определение альтернативных вариантов многокритериальной задачи
Наиболее естественным и разумным решением мк-задачи было бы органическое объединение всех ч-критериев в виде единой ЦФ. Иногда это удается сделать путем создания более общей модели, в которой ч-критерии являются аргументами более общей целевой функции, объединяющей в себе все частные цели операции. На практике этого редко удается достигнуть, что, собственно, и является основной причиной появления проблемы многокритериальности. Однако наиболее распространенный подход к решению проблемы пока остается все-таки один: тем или иным путем свести решение мк-задачи к решению однокритериальной задачи. В основе подхода лежит предположение о существовании некой функции полезности, объединяющей в себе ч-критерии, но которую в явном виде, как правило, получить не удается. Получение наиболее обоснованной «свертки» ч-критериев является предметом исследований нового научного направления, возникшего в связи с проблемой многокритериальности - теории полезности. В данной работе будут рассмотрены некоторые подходы, позволяющие получить варианты решения мк-задач при тех или иных посылках и которые лицо принимающее решение (ЛПР) должно рассматривать как альтернативные при принятии окончательного решения и которые, конечно, должны удовлетворять необходимому условию- -оптимальности.
4.1.Метод гарантированного результата
При любом произвольном решении х Dx каждый из ч-критериев примет определенное значение и среди них найдется, по крайней мере, один, значение которого будет наименьшим:
(9)
Метод гарантированного результата (ГР) позволяет найти такое (гарантированное) решение, при котором значение «наименьшего» критерия станет максимальным. Таким образом, целевая функция (ЦФ) является некоторой сверткой ч-критериев (9), а МЗЛП сводится к задаче КВП (кусочно-выпуклого программирования) при ОДР Dx, заданной линейными ограничениями.
Исходные условия записываем в каноническом виде:
1 = х1 - 2х2 - + 2,
2 = х1 + х2 - + 4,
3 = -х1 + 4х2 - + 20,
1 = -х1 - х2 + 15,
2 = 5х1 + х2 - 1,
3 = x1 - х2 + 5,
потом в виде с-таблицы:
Т1 | х1 | х2 | | 1 |
1 | -1 | -1 | 0 | 15 |
2 | 5 | 1 | 0 | -1 |
3 | 1 | -1 | 0 | 5 |
1 | 1 | -2 | -1 | 2 |
2 | 1 | 1 | -1 | 4 |
3 | -1 | 4 | -1 | 20 |
Вводя в базис переменную (1 ), получаем обычную ЗЛП при максимизации ЦФ .
Т2 | х1 | х2 | 1 | 1 |
1 | -1 | -1 | 0 | 15 |
2 | 5 | 1 | 0 | -1 |
3 | 1 | -1 | 0 | 5 |
| 1 | -2 | -1 | 2 |
2 | 0 | 3 | 1 | 2 |
3 | -2 | 6 | 1 | 18 |
Т3 | 3 | x2 | 1 | 1 | bi/ais |
1 | 1/2 | -4 | -1/2 | 6 | 6/4 |
2 | -5/2 | 16 | 5/2 | 44 | - |
3 | -1/2 | 2 | 2 | 14 | - |
| -1/2 | 1 | -1/2 | 11 | - |
2 | 0 | 3 | -1 | 2 | - |
х1 | -1/2 | 3 | 1/2 | 9 | - |
Т4 | 3 | 1 | 1 | 1 |
x2 | 3/2 | |||
2 | 68 | |||
3 | 17 | |||
| -3/8 | -1/4 | -5/8 | 25/2 |
2 | 13/2 | |||
х1 | 27/2 |
Решение ЗЛП приводит к конечной с-таблице Т4. Видно, что полученное гарантированное решение х -оптимально, поскольку введение в базис любой свободной переменной (т.е. ее увеличение) приведет к снижению - нижнего уровня ч-критериев (сj < 0). Из таблицы также видно, что решение х0=(27/2; 3/2) находится на грани 4, при этом значения ч-критериев равны (находим по формуле Lr(xr) = + r):
L1 = L3 = = 25/2
L2 = + 2 = 25/2 + 13/2 = 19
L = 88/2 = 44
x = ( 27/2; 3/2)
Если бы в строке имелись нули, то это означало бы, что одну из соответствующих переменных можно ввести в базис (увеличить без снижения уровня ). Это могло бы привести и к увеличению приращения r для некоторого ч-критерия, находящегося в базисе.
4.2.Метод линейной свертки частных критериев
Линейная свертка ч-критериев получается как х сумма с некоторыми весовыми коэффициентами r:
(9)
где
(10)
Меняя порядок суммирования и вводя обозначения cj и c0, окончательно получим:
(11)
Коэффициенты веса обычно получаются путем опроса экспертов из соответствующей предметной области. Поскольку вектор = (r) – суть вектор-градиент ЦФ L(x), то предполагается, что он указывает направление к экстремуму неизвестной функции полезности. Положительная сторона такого подхода – несложность, не всегда компенсирует его серьезный недостаток – потерю физического смысла линейной свертки разнородных ч-критериев. Это затрудняет интерпретацию результатов, поэтому полученное таким путем решение, следует рассматривать только как возможный (альтернативный) вариант решения ЛПР. Для его сравнительного анализа следует привлекать любые другие варианты и, конечно, значения ч-критериев, получаемые при этом. Иногда при получении свертки ч-критериев предварительно нормируются каким-нибудь способом.
Наиболее приемлемой линейная свертка ч-критериев может оказаться в том случае, когда ч-критерии однородны и имеют единый эквивалент, согласующий их наиболее естественным образом.
На содержательном уровне данная МЗЛП состоит в необходимости принятия такого компромиссного решения (плана выпуска продукции) xk Dx, которое обеспечит, по возможности, наибольшую суммарную выручку L1(x) от реализации произведенной продукции; наименьший расход ресурсов i-го вида Lpl (x) (i = 1; m); минимальные налоговые отчисления от прибыли LH(x) (или общей выручки).
Указанные цели носят противоречивый характер, и фактически мы имеем МЗЛП с m+2 –мя ч-критериями (m – количество видов потребляемых ресурсов). ОДР обусловлена ресурсными ограничениями и условиями неотрицательных переменных:
где aij – расход ресурса i-го вида для выпуска 1 единицы продукции j-го вида (j=1,n);