Z^*₃(1)=max 8,99+44,89 = 53,88 ; X^c

47,74

Z ^*₃(2)=max 8,06+42,97 = 51,03 ; X^c

47,74

Полученные результаты записаны в таблице 3.8.

Таблица 3.8

Возможное состояние оборудование к началу 3-го года периода

Теперь рассматриваются допустимые состояния оборудования к началу 2-го года периода. На данный момент времени возраст оборудования может быть равен только лишь одному году. Поэтому предстоит сравнить лишь два возможных решения: сохранить оборудование или произвести замену.

Z ^*₂(1)=max 8,99+51,03 = 60,02 ; X^c

53,81

К началу второго года периода оборудование требуется сохранить.

Согласно условию к началу периода установлено новое оборудование (t=0). Поэтому проблема выбора между сохранением и заменой оборудования не существует: оборудование следует сохранить. Значит, условно оптимальным решением является X^c, а значение функции: Z^*₁(1)=9,93+60,02 =69,95.

Таким образом, максимальная прибыль предприятия может быть равной 69,95 тыс.д.ед. Она соответствует оптимальным планам замены оборудования, т.к. оптимальный план не единственный. Оптимальные планы получаются на основе данных таблиц 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, то есть в результате вычислительного процесса, состоящего в прохождении всех рассмотренных шагов с начала 1-го до начала 10-го года периода. Для 1-го года периода решение единственно – следует сохранить оборудование. Значит возраст оборудования к началу 2-го года периода равен одному году. Тогда оптимальным решением для 2-го года периода является решение о сохранении оборудования. Реализация такого решения приводит к тому, что возраст оборудования к началу 3-го года периода становится равным двум годам. При таком возрасте (см. табл.3.8) оборудование в 3-м году периода следует сохранить. После сохранения оборудования его возраст к началу 4-го года периода составит три года. Как видно из таблицы 3.7 , при таком возрасте оборудование следует сохранить. Поэтому возраст оборудования к началу 5-го года периода составит четыре года. Из таблицы 3.6 следует, что оборудование следует сохранить или заменить и в случае сохранения его возраст к началу 6-го периода составит пять лет, и оборудование вновь следует сохранить (см. таблицу 3.5). Если мы оборудование сохраняем к началу 7-го года периода, то возраст оборудования будет шесть лет, а из таблицы 3.4 следует, что оборудование следует заменить. К началу 8-го года периода возраст оборудования составит один год, а это значит, оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.3). К началу 9-го года периода возраст оборудования составит два года и в соответствие с таблицей 3.2 оно опять сохраняется. К началу 10-го года периода оборудование сохраняется (см. таблицу 3.1).

Рассмотрим следующий оптимальный план:

Для этого вернемся к началу 5-го года периода, когда возраст оборудования будет равным четырём годам. При таком возрасте (см. табл.3.6) оборудование в 5-м году периода следует сохранить или заменить. В отличие от предыдущего оптимального плана, заменим оборудование. После замены оборудования его возраст к началу 6-го года периода составит один год. Как видно из таблицы 3.5, при таком возрасте оборудование следует сохранить. Поэтому возраст оборудования к началу 7-го года периода составит два года. Из таблицы 3.4 следует, что оборудование следует сохранить и его возраст составит три года, значит, к началу 8-го года оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.3). Если мы оборудование сохраняем к началу 9-го года периода, то возраст оборудования будет четыре года, а из таблицы 3.2 следует, что оборудование следует сохранить. К началу 10-го года периода возраст оборудования составит пять лет, а это значит, оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.1).

Таблица 3.9

Оптимальные планы замены оборудования

Запишем в таблицу 3.9 данные нашей задачи, и на основании этой таблицы построим график зависимости производительности оборудования от времени его использования предприятием.

Таблица 3.10

Данные задачи замены оборудования

Зависимость производительности оборудования от времени его использования предприятием

Рис.3.1

Из графика видно, что производительность оборудования со временем падает, то есть оборудование стареет и требует ремонта или замены.

В таблице 3.10 сведены значения оптимальных планов замены оборудования.

Таблица 3.10

Значения оптимальных планов замены оборудования

Зависимость получаемой прибыли предприятием от времени использования эксплуатируемого оборудования при оптимальных планах его замены

Рис.3.2

На рисунке 3.2 изображено два оптимальных плана. Из рисунка видно, что к началу 5-го года значения всех оптимальных планов одинаковы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Динамическое программирование – это область математического программирования, включающая совокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а также оптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то есть процесс управления можно представить как многошаговый процесс. Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования заключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задача динамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе –условием аддитивности целевой функции задачи.

На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметную роль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и на выигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачами динамического программирования. В детерминированной задаче оптимальное управление является единственным и указывается заранее как жесткая программа действий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным и выбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейся ситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца к началу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений, но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. В стохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управлений может оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайного процесса приведет систему в соответствующее состояние.

Принцип оптимальности является основой поэтапного решения задач динамического программирования. Типичными представителями экономических задач динамического программирования являются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределения капиталовложений, задачи календарного производственного планирования и другие. Задачи динамического программирования применяются в планировании деятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени. В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или во времени.

Описание характеристик динамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированы в его рамках, по необходимости должно быть очень общим и несколько неопределенным, так как существует необозримое множество различных задач, укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большого числа примеров дает отчетливое понимание структуры динамического программирования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1993.