MAYDIP1 (Моделирование работы банка), страница 2

Роль стохастических моделей и методов в исследо­вании закономерностей поведения экономических систем и в разработке количественных методов планирования экономики и управления производством имеет два аспекта — методологический и вычислительный. И тот и другой связаны с одной из важнейших категорий современной матема­тической логики — с понятием сложности, точнее, с понятиями «сложность алгоритма», «сложность вычислений» и «сложность развития».

Роль вычислительного аспекта проблемы определяется тем, что планирование, управление и проектирование происходят, как правило, в условиях неполной информации. Рыночная конъюнктура, спрос на продукцию, изменения в состоянии обо­рудования не могут быть точно предсказаны. В условиях кон­курентной экономики дополнительно возникает направленная дезинформация.

Учет случайных факторов и неопределенности в планировании и управлении — важная задача стохастического программирования.

Однако этим не исчерпывается роль стохастических методов в экономическом анализе. Принципы стохастического програм­мирования дают основание для сопоставления затрат на накоп­ление и хранение информации с достигаемым экономическим эффектом, позволяют аргументировать рациональное разделе­ние задач между человеком и вычислительной машиной и слу­жат теоретическим фундаментом для алгоритмизации управле­ния сложными системами. Принципы стохастического програм­мирования позволяют сблизить точные, но узко направленные формальные математические методы с широкими, но нечеткими содержательными эвристическими методами анализа. И здесь, таким образом, мы переходим к методологической роли стоха­стического программирования в исследовании сложных систем.

В связи с оценками сложности алгоритмов и вычислений представляет смысл условно разделить задачи планирования, управления и проектирования на задачи вычислительного и не вычислительного характера.

Многие задачи управления, должны быть отнесены к классу задач не вычислительного характера. Т.о. необходимо согласование сложности управляемого объекта и управляющего устройства за счет ра­ционального упрощения объекта (разумной переформулировки задачи).

2.3.Формальная постановка стохастической задачи.

Приведем формальную постановку многоэтапной стохастиче­ской задачи. Пусть _i—набор случайных параметров i-го этапа, a x_i —решение, принимаемое на i-м этапе. Обозначим ^k =(₁ , … , _k) , x^k = (x₁ , … ,x_n) ,

k = 1,…,n .

Общая модель многоэтапной задачи стохастиче­ского программирования имеет вид:

M_ⁿ ₀ ( ⁿ , xⁿ )  min, (4.1)

M _k _k ( ^k , x^k ) ^k-1 b_k (^k-1) , (4.2)

x_kG_k ,k=1,…,n. (4.3)

Здесь ₀ (ⁿ , xⁿ) —случайная функция от решений всех этапов,

_k (^k , x^k) -случайная вектор-функция, определяющая ограни­чения k-го этапа; b_k (^k-1) —случайный вектор; G_k —некоторое множество, определяющее жесткие ограничения k-го этапа; M _k _k ^k-1 —условное математическое ожидание _k в пред­положении, что на этапах, предшествующих k-му, реализован набор

^k-1 =(₁ , … , _k-1).

Предполагается, что совместное рас­пределение вероятностей всех случайных параметров условий задано (или, по крайней мере, известно, что оно существует).

Для того чтобы постановка задачи (4.1)—(4.3) была пол­ной, необходимо еще указать, среди какого класса функций (ре­шающих правил x=x() Х) от реализаций случайных исход­ных данных следует разыскивать решение.

К моменту, когда должно быть принято решение k-то этапа, можно успеть обработать результаты наблюдения реализаций случая на этапах 1, ..., s; sk.

В задачах решение на 1-м этапе принимается после реализации случайных параметров условий на предыду­щем (i—1)-м этапе. Решающие правила имеют вид x_i=x_i (^i-1 ) , i = 1,…,n .

Будем называть такие задачи многоэтапными зада­чами стохастического программирования с условными ограниче­ниями и с априорными решающими правилами.

Сведение задачи управления к анализу модели стохастиче­ского программирования позволяет разделить процесс выбора решения на два этапа. Первый—трудоемкий предваритель­ный — использует структуру задачи и априорную статистиче­скую информацию для получения решающего правила (или ре­шающего распределения) —формулы, таблицы или инструкции, устанавливающей зависимость решения (или функции распре­деления оптимального плана) от конкретных значений парамет­ров условий задачи. Второй — нетрудоемкий оперативный этап — использует решающее правило (решающее распределение) и те­кущую реализацию условий для вычисления оптимального плана (или его распределения).[10]

2.4.Методы решения задач стохастического программирования.

Основные классы задач, для решения которых создается вы­числительный комплекс, непосредственно или методами стоха­стического расширения формулируются как модели стохастиче­ского программирования.

Вообще говоря, все модели выбора решения, сформулирован­ные в терминах математического программирования, могут быть (а в практических задачах, отвечающих управлению сложными системами и процессами, должны быть) сформулированы как модели стохастического программирования.

Соответствие формально построенных стохастических моде­лей содержательным постановкам—решающее условие успеш­ного управления в условиях неполной информации. Вряд ли мо­гут быть приведены универсальные рекомендации по выбору информационной структуры модели и статистических характери­стик, используемых для формирования целевого функционала задачи и области его определения.

Анализ опыта решения практических экстремальных задач методами математического программирования свидетельствует о серьезных успехах этого подхода (и о внедрении данных ме­тодов в практику планирования, управления и проектирования) в задачах относительно простой структуры, главным образом одно экстремальных, при не слишком большой размерности задачи, когда число переменных и ограничений (в моделях достаточно общего вида) не превышает сотен или тысяч. Однако методы детерминированного математического программирования не прививаются в системах большой сложности, отвечающих многоэкстремальным задачам или задачам большой размерно­сти.

До сих пор нет достаточно конструктивного метода решения общей (даже линейной) двухэтапной задачи стохастического программирования. Стандартные методы выпуклого программи­рования в общем случае неприменимы для вычисления предва­рительного плана — решения выпуклой задачи первого этапа. Основная трудность в том, что целевая функция и область определения планов первого этапа заданы. вообще говоря, неявно. В случаях, когда область К имеет относительно простую структуру или задача оказывается с простой рекурсией, эффек­тивным, хотя и трудоемким методом вычисления предваритель­ного плана, оказывается метод стохастических градиентов², представляющий собой итеративный метод типа стохастической аппроксимации.

Все это подсказывает путь алгоритмизации решения сложных задач в автоматизированных системах управления—замену трудоемких процедур, отвечающих обоснованным (точным или приближенным) методам решения детерминированных экстремальных задач, относительно простыми «законами управления»—решающими правилами или решающими распределениями стохастического расширения соответствующих задач.

Платой за упрощение задачи и за переход от громоздких алгоритмов к относительно простым решающим механизмам служат трудоемкая предварительная работа по построению «за­конов управления» и некоторая потеря эффективности решения задачи в каждом отдельном случае.

В литературе по стохастическому программированию опи­саны многочисленные модели выбора решений, сформулирован­ные в терминах стохастического программирования. Разнообразные задачи управления запаса­ми—классические примеры стохастических моделей. Синтез си­стем массового обслуживания, удовлетворяющих заданным тре­бованиям и оптимизирующих пропускную способность системы или определяемый ею доход, сводится к решению экстремаль­ных стохастических задач.

3.Динамическая модель работы банка.

3.1.Вводные сведения.

В общем случае, проведение управленческого анализа разбивается на три

основных этапа:

I.Производится группировка банковских услуг и операций по признаку сферы оказания и осуществления, функциональному подразделению, мес­ту выполнения и общей клиентской базе. Подобные комплексы услуг и опе­раций являются источниками прибыли, составляют единую технологиче­скую цепочку и называются бизнес-центрами. Далее следует сбор и аналитическая обработка данных по каждому из бизнес-центров. Методика анализа включает составление портфеля привле­чения и размещения средств, расчета операционных доходов, расходов и прибыли, накладных и обще банковских расходов, конечной прибыли и анализ окупаемости инвестиций в деятельность бизнес-центра. Для продвижения определенного комплекса услуг бизнес-центра требуют­ся капитальные вложения - инвестиции в техническое и программное обес­печение, помещения и оборудование. Данные инвестиции необходимо оце­нить с точки зрения окупаемости и рентабельности, потоков денежных посту­плений и потоков финансовых средств. Для этой цели производится анализ окупаемости инвестиционных проектов. В рамках этого же этапа производится наиболее важный и необходимый анализ рентабельности отдельных услуг и операций, осуществляемых биз­нес-центром.

II. На втором этапе сгруппированные комплексы услуг и операций (биз­несы) локализуются в организационной структуре банка. Происходит "наложение" и увязывание технологических цепочек бизнесов с функционально территориальной структурой организации. Формируются центры более высо­кого уровня - центры ответственности (или центры прибылей), включающие в себя несколько функционально взаимосвязанных и организационно объеди­ненных бизнес-центров. Необходима методика обоснованного перераспределения затрат ин­фраструктурных подразделений по центрам ответственности. Возможно, так­же такого перераспределения не осуществлять, выделяя в конечных продук­тах анализа результаты деятельности инфраструктурных центров. В ходе анализа рассчитываются основные показатели деятельности цен­тров ответственности - конечная прибыль, объемы привлеченных и разме­щенных средств, окупаемость инвестиционных проектов центра ответствен­ности, которые могут включать несколько взаимосвязанных проектов уровня бизнес-центров.

III.Общую сумму прибыли, заработанную банком, необходимо перерас­пределить, во-первых, по осуществляемым отдельным операциям и услугам, во-вторых, по функциональным подразделениям. Данный этап интегрирует результаты двух предыдущих и является наиболее трудоемким.

Данная разбивка финансовых результатов может производиться до уровня любой глубины - вплоть до каждого отдельного вида услуг и функционально­го подразделения - филиала или отдела.

Рассмотрим общий случай.

3.2.Постановка задачи .

Некоторый банк, организационная структура которого построена на базе отделений, ежегодно распределяет ассигнования на выполнение различных работ. Каждое из S отделений представляет руководству банка данные трех видов . Информация первой группы относится к проведению поисковых исследований неопределенного характера . Если на исследования такого рода в отделении j выделяют v_j тысяч долларов, то оценка ожидаемого долгосрочного дохода равна P_j (v_j ) миллионов долларов. Информация второй группы относится к услугам, по которым поисковые исследования уже завершены и для внедрения которых требуется проведение ряда работ и подсчетов. Для таких проектов ассигнования в объеме w_j тысяч долларов, согласно имеющейся оценке, дадут, в конечном счете, доход в размере Q_j (w_j ) миллионов долларов. К третьей группе относится информация , связанная с улучшением качества уже оказываемых услуг . Затраты x_j тысяч долларов, согласно сделанным оценкам, должны принести всего R_j(x_j) миллионов долларов дополнительного дохода.

Правление банка утверждает общую сумму ассигнований на все проекты в размере N тысяч долларов, и верхний предел L_j ассигнований между отделениями j. Следовательно, необходимо распределить ассигнования между отделениями таким образом, чтобы обеспечивалась максимизация общего дохода банка при наложенных ограничениях.

Математическая модель задачи описывается следующими соотношениями:

[P_j (v _j ) + Q _j (w _j ) + R_j (x _j )] (1)

максимизировать, при ограничениях

(v_j + w_j + x_j ) N (2)