kursovik metod (Методология и методы принятия решения), страница 7

200-40*(-3) / 5/2=200+40*3*2/5=200+48=248=Z

5/2-(-1/4)*(-3) / 5/2=5/2-3/10=22/10=11/5

0-1*(-3) / 5/2=0+6/5=6/5

Из таблицы №3 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных процедур. Полученное значение прибыли Z₀ = 248 рублей прибыли в час, является оптимальным.

Пример №2:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 28

Б 20

В 10

Установлено соответственно: 28;20 и 10 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы продукции представлены в таблице в машино/часах:

Прибыль первого вида продукции 4 рубля

Прибыль единицы второй продукции 2 рубля

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х₁ искомый объем ₁ продукции первого вида;

х₂ - ₂ объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

4х₁ – прибыль от реализации  первого вида продукции

2х₂ – прибыль от реализации  второго вида.

Целевая функция L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ = 4х₁ + 2х₂

С₁ = 4; С₂ = 2 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

П ланируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие этого оборудования в цехах (по цехам)  отсюда система неравенств.

А – 3х₁ + 2х₂  28 ограничение по

Б – 2х₁ + 1х₂  20 использованию

В – 1х₁ + 0х₂  10 оборудования,

условие не отрицательности.

х₁  0; х₂  0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

3х₁ + 2х₂ + х₃  28

2х₁ + х₂ + х₄  20

х₁ + х₅  10

Переведем систему неравенств в уравнение:

х ₃ = 28 – (3х₁ + 2х₂) сколько машин

х₄ = 20 – (2х₁ + х₂) нужно

х₅ = 10 – х₁ (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию, которая будет иметь вид:

L (х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ + С₃х₃ + С₄х₄ + С₅х₅ = 4х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅

стремится к максимуму

х₁  0; х₂  0; х₃ = 0; х₄ = 0; х₅ = 0.

Выразим х₃; х₄ и х₅ через х₁ и х₂

х₃ = 28 – 3х₁ - 2х₂

х₄ = 20 – 2х₁ - х₂

х₅ = 10 – х₁

Модель составлена и в этой модели имеются: х₁; х₂ – независимые (свободные) переменные; х₃; х₄; х₅ – базисные переменные.

По составленной модели используют итерационные процедуры метода, составим альтернативные варианты решения системы уравнений с пятью неизвестными.

Первым решением будет х₁ = 0; х₂ = 0; х₃ = 28; х₄ = 20; х₅ = 10.

Целевая функция будет равняться: L = 4*0 + 2*0 + 0*28 + 0*20 + 0*10=0

Используя систему уравнений, составим отправную таблицу:

Z₀ = 0*28+0*20+0*10 = 0

Z₁ – С₁  Z₁ = 0*3+0*2+0*1-4 = -4

Z₂ = 0*2+0*1+0*0-2 = -2

Получение второго базисного решения, и решения вообще, надо преобразовать, первую таблицу во вторую получив улучшенное (решение) значения.

28/3=9,33; 20/2=10; 10/1=10.

Составляем вторую базисную таблицу:

Для столбца свободных членов (В):

20-28*2/3=(60-56)/3=4/3

10-28*1/3=(30-28)/3=2/3

Для столбца х₂ по тому же правилу:

1-2*2/3=1-4/3=-1/3

0-2*1/3=0-2/3=-2/3

Для столбца х₃:

0-1*2/3=0-2/3=-2/3

0-1*1/3=0-1/3=-1/3

Определяем индексную строку:

0-28*(-4)/3=0+112/3=112/3=Z

-2-2*(-4)/3=-2-(-8/3)=2/3

0-1*(-4)/3=0-(-4/3)=4/3

Z₀ = 112/3 – самая большая прибыль.

Из таблицы №2 видно, что в индексной строке отсутствуют отрицательные значения и, следовательно, невозможно дальнейшее назначение итерационных процедур. Полученное значение прибыли Z₀ = 112/3 рублей прибыли в час, является оптимальным.

Пример №3:

Условие задачи (постановка):

Найти план производства предприятия обеспечивающий максимум прибыли.

Предприятие производит два вида продукции в трех цехах:

А 87

Б 7

В 24

Установлено соответственно: 87;7 и 24 единиц оборудования.

Нормы использования оборудования для производства за 1 час единицы продукции представлены в таблице в машино/часах:

Прибыль первого вида продукции 10 рубля

Прибыль единицы второй продукции 2 рубля

Требуется определить объем выпуска первого и второго вида продукции доставляющего максимум прибыли.

Решение:

1. Составляем модель.

Пусть х₁ искомый объем ₁ продукции первого вида;

х₂ - ₂ объем выпуска второго вида продукции.

Цель: максимальная прибыль.

Модель:

10х₁ – прибыль от реализации  первого вида продукции

2х₂ – прибыль от реализации  второго вида.

Целевая функция L(х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ = 10х₁ + 2х₂

С₁ = 10; С₂ = 2 – коэффициенты при переменных в целевой функции.

П ланируемое использование машин по цехам не должно превышать наличие этого оборудования в цехах (по цехам)  отсюда система неравенств.

А – 5х₁ + 3х₂  87 ограничение по

Б – 4х₁ + 0х₂  7 использованию

В – 2х₁ + 3х₂  24 оборудования,

условие не отрицательности.

х₁  0; х₂  0.

Для решения задачи симплексным методом в условиях ограничений принимается работа каждой машины в цехе в машино/часах.

Система неравенств приводится к каноническому виду, путем добавления дополнительных переменных и перевода неравенств в уравнение:

5х₁ + 3х₂ + х₃  87

4х₁ + х₄  7

2х₁ + 3х₂ + х₅  24

Переведем систему неравенств в уравнение:

х ₃ = 87 – (5х₁ + 3х₂) сколько машин

х₄ = 7 – 4х₁ нужно

х₅ = 24 – (2х₁ +3х₂) (машино/часов)

Дополнительные переменные должны быть введены в целевую функцию, которая будет иметь вид:

L (х₁х₂) = С₁х₁ + С₂х₂ + С₃х₃ + С₄х₄ + С₅х₅ =10х₁ + 2х₂ + 0х₃ + 0х₄ + 0х₅

стремится к максимуму