165525 (Моделирование процессов переработки пластмасс), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Моделирование процессов переработки пластмасс", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "химия" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "химия" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "165525"
Текст 2 страницы из документа "165525"
(2.12)
Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во всех точках была одинакова и равна То. Это начальное условие записывается в виде:
(2.13)
Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:
(2.14)
Здесь — безразмерная температура;
— критерий Фурье (критерий гомохронности для процессов чистой теплопроводности );
- безразмерная координата;
— функция ошибок, где ;
Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию постоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:
(2.15)
Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости от представленной на рис.2.2
Рис.2.2 Номограмма для определения безразмеоной температуры в сечении неограниченной пластины при
Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности, решение имеет вид:
(2.16)
Здесь (2.17)
где — корни характеристического уравнения
(2.18)
где Bi = aw/ — критерий Био.
Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множество действительных положительных корней. Первые пять корней для различных значений критерия Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются номограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру при различных значениях критерях Био приведена на рис.2.3
Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности неограниченной пластины.
Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в центре пластины, приведена на рис.2.4.
Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в середине неограниченной пластины
2.2.2 Неограниченный цилиндр.
Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена. Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна, затвердевания литников литьевых форм и т. п.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
имеет вид: (2.19)
Краевые условия:
Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной форме, имеет вид:
(2.20)
Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю температуру как:
(2.21)
Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением: (2.22)
где ; - корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка определяемые выражением:
(2.23)
Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между и Fo.
Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного цилиндра.
2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением физического состояния
Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся изменением физического состояния (плавлением или затвердением). Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.
Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для упрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна λ, а температура плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и жидкой фазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должно удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:
Ts = Tm = Tn при X=X(t) (2.24)
Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой фазе (например, ρs — плотность твердой фазы). Соответственно индекс m указывает, что величина относится к жидкой фазе.
Второе граничное условие касается поглощения (или выделения) скрытой теплоты на поверхности раздела. Предположим, что в области x>x(t) находится жидкость при температуре Тт(х, t), а в области x=x(t) — твердая фаза при температуре Ts(xtt).
Если поверхность раздела перемещается на расстояние dx, то в элементе объема вещества выделяется и должно быть отведено в результате теплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности равное ρdx. Математически это условие запишется в виде:
(2.25)
Рассмотрим три случая: плавление, затвердевание и плавление с удалением расплава.
2.3.1. Плавление в области х > 0.
Если в начальный момент область х > 0 занята твердым телом с постоянной температурой Ts0 и при t > 0 плоскость х = 0 поддерживается при постоянной температуре Т2 > Тп, то положение плоскости плавления определится выражением:
(2.26)
Здесь - корень уравнения
(2.27)
где
;
При этом распределение температур в твёрдой и жидкой фазах описывается выражением:
(2.28)
(2.29)
2.3.2. Затвердевание.
Пусть в начальный момент времени область х > 0 представляет собой жидкость, а область х <С 0 — твердое тело. Иначе говоря, в начальный момент поверхность раздела совпадает с началом координат.
Допустим, что значения термических коэффициентов только что затвердевшего расплава отличаются от значений термических коэффициентов твердой фазы в области х < 0. Присвоим термическим коэффициентам этой области индекс s0.
Поступающий расплав имеет температуру Т2. Координата поверхности раздела фаз определится соотношением:
(2.30)
Здесь ξ — корень уравнения
(2.31)
После определения ξ, которое может быть выполнено любым численным методом (например, методом итерации), можно определить температурные поля во всех трех областях (начальная твердая фаза, затвердевшее вещество и расплав):
(2.34)
(2.35)
(2.35)
2.3.3 Плавление с непрерывным удалением расплава.
Пусть твердое тело нагревается благодаря поступающему извне к его поверхности постоянному тепловому потоку q. При этом весь расплав непрерывно удаляется. Примем плоскость, на которой происходит плавление, за плоскость с координатой х = 0 и будем считать, что твердое тело в области х > 0 движется относительно этой плоскости со скоростью υ. Следовательно, массовый расход расплава, Qm, отнесенный к единичной ширине, равен:
(2.36)
В установившемся режиме температура в области х > 0 описывается выражением:
(2.37)
Из дифференциального уравнения теплопроводности следует, что тепловой поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла, подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла, отводимого в единицу времени с расплавом:
(2.38)
Определив υ из соотношения (2.38), можно рассчитать распределение температур в твердом теле по формуле (2.36). Рассмотренные три случая наиболее типичны для процессов переработки полимеров, так как любой реальный процесс плавления можно свести к одному из них.
2.4.Теплопередача в потоках расплава
Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности самой жидкости. Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности в случае конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты экспериментальных исследований, представленные в виде зависимостей между соответствующими критериями подобия. Обычно при изучении теплопередачи конвекцией принимаются следующие допущения:
1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблюдаются условия прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость, теплопроводность, плотность и вязкость) сохраняют неизменное значение для всего потока; 3) лучистый теплообмен между поверхностью нагрева (охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной теплоотдачи.
В настоящее время наибольшее распространение получили экс* периментальные исследования процессов стационарного теплообмена. Для описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение Ньютона:
(2.39)
где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла, подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с единичной площадью;
Tw — температура стенки канала;
Тж — средняя температура жидкости.
По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной величиной и характеризует отношение коэффициента теплопроводности жидкости к толщине δ пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:
(2.40)
Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида функциональной зависимости:
(2.41)
Здесь — критерий Нуссельта, характеризующий интенсивность
теплообмена;
Рr = Срμ/ — критерий Прандтля, характеризующий соотношение между количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энтальпии, и количеством тепла, отводимого за счет теплопроводности;
Gr = gλP2lzΔT/μ2 — критерий Грасгофа, характеризующий интенсивность теплообмена за счет свободной конвекции;
Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения;