151760 (Пузыри в жидкости), страница 3

Так как , то

.

Именно в этом неравенстве и содержится энергетическое оправдание объединения «мягких» пузырей: энергия заключенного в них газа не меняется, а связанная с ними поверхностная энергия уменьшается. Так что в процессе слияния общая энергия уменьшается — слияние «мягких» пузырей энергетически выгодно.

Теперь о слиянии «твердых» пузырей. Для них из главной формулы следует . Это значит, что при слиянии таких пузырей суммируются не их объемы, а поверхности:

.

При этом объем суммарного пузыря должен превосходить сумму объемов слившихся пузырей:

.

Вывод: при слиянии «твердых» пузырей поверхность, а значит, и энергия поверхности, остаются неизменными. Казалось бы, и объединяться им нечего. Есть, однако, оправдание процесса слияния твердых пузырей. Оно заключается в том, что слиянию пузырей сопутствует расширение газа.

4. Газовый пузырек у границы между жидкостями

Газовый пузырек, проходящий через границу между жидкостями,— участник многих очень важных технологических процессов. Вот пример такого процесса. Для того чтобы выплавляемый металл был высококачественным, тщательно перемешанным, сквозь жидкий расплав пропускают пузырьки газа. Производят, как говорят металлурги, барботаж расплава. В виде пузырьков газ проходит и сквозь слой металла, и сквозь слой находящегося на нем жидкого шлака. А между слоями — граница, и пузырьки газа должны ее преодолеть. Для металлургов очень важно знать закономерности этого процесса.

Вначале попробуем представить себе судьбу газового пузырька радиуса R, расположенного в нижней жидкости вблизи границы между нижней и верхней жидкостями. Для облегчения нашей задачи упростим ее и предположим, что плотности жидкостей одинаковы и равны и, следовательно, выталкивающая сила от сорта жидкости не зависит. Предположим вначале, что граница между жидкостями остается плоской, когда пузырек пытается пройти сквозь нее. Жидкости отличаются коэффициентами поверхностного натяжения и , а граница между ними характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения .

Газовый пузырек либо пройдет сквозь границу, либо задержится границей и останется на ней.

Судьба газового пузырька определится совместным действием трех сил. Перечислим и оценим эти силы. Одна из них — выталкивающая сила — обусловлена уменьшением потенциальной энергии всплывающего пузырька. Вторая сила обусловлена тем, что прохождению пузырька сквозь границу сопутствует исчезновение части поверхности границы и, следовательно, уменьшение энергии системы на значение произведения площади этой поверхности на . Третья сила определяется тем, что при движении пузырька через границу меняется соотношение между площадями поверхности пузырька, где коэффициенты поверхностного натяжения и различны. При этом, разумеется, изменяется поверхностная энергия, связанная со всей поверхностью пузырька .

Для того чтобы оценить эти силы, мы поступим следующим образом: расположим пузырь на границе так, чтобы его вершина отстояла от границы на расстояние h (см рис. 3). Затем сместим пузырек вверх на расстояние и вычислим происходящее при этом изменение всех трех упоминавшихся слагаемых энергии, связанных с пузырьком на границе. Вспомнив, что изменение энергии равно взятому с обратным знаком произведению действующей силы на путь (в данном случае ), легко найдем интересующие нас силы. А потом, сложив все три силы, найдем ту, которая и определяет судьбу пузырька.

Рисунок 3 Схема плоской границы между жидкостями, «пробиваемой» всплывающим пузырьком

Уменьшение потенциальной энергии пузырька при его смещении на равно

и, следовательно,

Это — первая сила.

Уменьшение граничной энергии, связанное с исчезновением части границы, определится формулой

.

Изменение этой величины при переходе от h к (в предположении, что ) равно и, следовательно,

Это — вторая сила.

Энергия , где - площадь поверхности пузырька, ограниченная верхней жидкостью; после смещения пузырька на величина изменяется на и таким образом,

Это — третья сила.

Вот теперь можно записать силу, действующую на пузырек, расположенный на границе:

.

Пузырек прекратит всплывание при F = 0, т. е. при

А происходит это именно на границе при условии, что . Из этого условия (при ) следует, что задержаться на границе могут пузырьки, радиус которых меньше некоторого критического :

.

Формулу, следующую из нашего расчета, можно получить, пользуясь лишь соображениями о размерностях.

Итак, формула есгь, обсудим ее.

При может оказаться, что .

В этом случае R * < 0 и граница должна быть проницаема для пузырьков любого размера. Если же , то всегда R* > О, Скажем, для металлов Дж/м² , Дж/м² и, таким образом, м. Это означает, что на границе застрянут миллиметровые и более мелкие пузырьки.

Но элементарный расчет может иметь отношение к действительности лишь в случае, если подход пузырька к границе снизу сопровождается ее прорывом при соприкосновении пузырька с жидкостью верхнего слоя. Такая ситуация вполне реальна. Во многих же случаях действительность оказывается сложнее нашей упрощенной схемы и преодоление пузырьком границы происходит совсем не так, как мы это предполагали в нашем расчете. Обсудим и иной механизм преодоления границы пузырьком.

Вначале о результатах совсем простых опытов. В сосуде расположены два слоя несмешивающихся жидкостей. В объем нижней жидкости вдуваются газовые пузырьки, и они, двигаясь вверх, проходят через границу между жидкостями.

В каждом из слоев пузырьки просто всплывают. А вот когда на пути пузырька оказывается граница между слоями жидкостей, возникают неожиданные явления, отличающиеся от обсужденных ранее. Они нас и интересуют. Возьмем для опыта стеклянный сосуд, нальем в него две несмешивающиеся жидкости (например, вода и подсолнечное масло) и сквозь стекло разглядим все, что происходит на границе между ними. В нижний слой жидкости газовые пузыри выводились через иглу шприца.

Опыты свидетельствуют о том, что явлению, которое мы наблюдали сопутствуют два эффекта. Оказывается, что, если в объем нижней жидкости последовательно вспрыскивать маленькие пузырьки они скапливаются под границей, объединяются и, лишь достигнув определенного размера , так сказать, объединив свои усилия, преодолевают границу и проникают в верхнюю жидкость. Точнее говоря, не «проникают», а «проникает» один укрупненный пузырь. Прежде чем пропустить сквозь себя пузырек, граница между жидкостями под влиянием выталкивающей силы прогибается, как бы тянется за укрупняющимся пузырьком. А затем, пропустив пузырек, она спрямляется, готовясь к сопротивлению новым пузырькам. Если разумеется, они появятся. Итак, принципиально новое наблюдение: граница не прорывается, а прогибается за движущимся пузырьком.

Рисунок 4 Схема границы, изгибаемой всплывающим пузырьком

Между газом, заключенным в пузырьке, и верхней жидкостью остается прослойка нижней жидкости, как это и изображено на схематическом рисунке (см рис. 4).

Вот теперь попытаемся оценить , сохранив все ранее сделанные упрощения. Будем считать, что границу преодолевает не движущийся пузырек, подобно тому, как, скажем, летящая пуля пробивает доску, а пузырек покоящийся, на который, по мере его укрупнения действует выталкивающая сила . Это означает, что, как и ранее, мы не должны обсуждать ни скорость всплывания пузырьков, ни вязкость граничащих жидкостей, ни какие-либо иные кинетические величины.

Предположим, что плотности граничащих жидкостей практически одинаковы и равны . В рассматриваемой ситуации на пузырек, отделенный от границы между жидкостями тонким слоем нижней жидкости действуют две силы. Одна из них – выталкивающая сила, стремящаяся продавить пузырек сквозь границу. Другая сила возникает, когда всплывающий пузырек деформирует границу между жидкостями. Эта сила стремится воспрепятствовать увеличению площади между жидкостями в том месте, где пузырек стремится ее прорвать. Эту силу вычислим, упростив форму границы. В этом упрощении формы границы в основном и заключается упрощенность расчета.

Силу можно оценить, следуя вот каким рассуждениям. Перемещение газового пузырька вверх сопровождается увеличением площади цилиндрической границы между верхней и нижней жидкостями. Если пузырек сместится на величину , то сопутствующее этому увеличение поверхностной энергии . Это означает, что всплыванию пузырька будет препятствовать сила . Вот теперь из условия , мы легко определим критический размер пузырька, при котором сила оторвет его от столба нижней жидкости. Окутанный ею пузырек всплывает в верхней жидкости. Оценка R* оказывается следующей:

.

Из формулы следует, что при разумных значениях величин, определяющих R* ( Дж/м², кг/м³), оказывается, что м.

Теперь о втором эффекте. Оказывается, что пузырек, прорывающийся через границу в «верхнюю» жидкость, уносит с собой немного «нижней» жидкости, даже если она и тяжелее.

5. Кавитация

Это понятие разъясняется так: образование разрывов сплошности жидкости в результате местного понижения давления в ней. Разрывы жидкости, это конечно же пузырьки. Слово «кавитация» происходит от латинского слова cavitas, что означает пустота.

Временно поставим перед собой иную цель: ознакомимся с основной закономерностью, которой подчиняется жидкость, текущая в трубке. Представим себе горизонтальную трубку переменного сечения, по которой течет жидкость. Там, где площадь сечения поменьше, жидкость течет быстрее, а там, где побольше, - медленнее. Согласно закону сохранения энергии, можно утверждать следующее. Над выделенным объемом текущей жидкости совершается работа сил давления, вынуждающих ее течение. Если жидкость не обладает вязкостью, то эта работа будет расходоваться только на изменение ее кинетической энергии. Закон сохранении энергии дает право приравнять работу сил давления изменению кинетической энергии жидкости. Из этого равенства следует уравнение Даниила Бернулли, которое выполняется в любом сечении трубки: