151314 (Механічні й електромагнітні коливання)

РЕФЕРАТ

на тему:”Механічні й електромагнітні коливання”

План

1. Гармонічні коливання і їх характеристики

2. Механічні гармонічні коливання

3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний маятники

1. Вільні гармонійні коливання в коливальному контурі

1. Гармонічні коливання і їх характеристики

Коливаннями називаються рухи або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процеси широко поширені в природі й техніці, наприклад, коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центра мас, у випадку змінного струму - коливаються напруга й струм у ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні й ін. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками й однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи.

Коливання будуть вільними (або власними), якщо вони відбуваються за рахунок деякої енергії, переданої коливальній системі в початковий момент часу, при відсутності в наступні моменти часу будь-яких зовнішніх впливів на цю систему. Найпростішими коливаннями є гармонічні коливання, при яких коливна величина змінюється з часом за законом косинуса або синуса. Вивчення гармонічних коливань важливе з двох причин:

1) коливання, які зустрічаються у природі й техніці, при певних наближеннях є гармонічними;

2) різні періодичні процеси (процеси, які повторюються через рівні проміжки часу), можна подавати як суперпозицію гармонічних коливань.

Гармонічні коливання деякої фізичної величини х описуються таким рівнянням

(1)

де А- максимальне значення коливної величини x, яке називається амплітудою коливань; - колова, або циклічна частота; φ - початкова фаза коливань для моменту часу t = 0; - фаза коливань для довільного моменту часу t. Так як косинус змінюється в межах від +1 до -1, то х може набувати значень від +А до -А.

Певні стани системи в процесі гармонічних коливань повторюються

через однаковий проміжок часу Т, який називається періодом коливань. За цей час фаза коливання зростає на 2π, тобто

звідки

(2)

Величина, обернена до періоду коливань

(3)

виконана коливною системою за одиницю часу, називається частотою коливань. Прирівнюючи (2) і (3), одержимо

ω₀ = 2 .

Одиницею частоти є герц (Гц), це частота такого періодичного процесу, при якому за 1 с відбувається одне повне коливання.

Запишемо першу й другу похідні фізичної величини х гармонічного коливання, тобто визначимо швидкість і прискорення коливання:

(4)

(5)

тобто маємо гармонічні коливання тієї ж циклічної частоти. Амплітуди величин (4) і (5) відповідно дорівнюють і . Фаза швидкості (4) відрізняється від фази фізичної величини (1) на π/2, а фаза прискорення (5) відрізняється від фази фізичної величини (1) на π.

Отже, у моменти часу, коли х = 0, має найбільші значення; коли ж x досягає максимальних від’ємних значень то в ці моменти часу будуть мати найбільші додатні значення (рис. 1).

З рівняння (5) одержуємо диференціальне рівняння гармонічних коливань (де враховано, що х = Acos (ω_οt + φ)),

. (6)

Рис. 1

Таким чином, розв’язком диференціального рівняння (6) є вираз (1).

Гармонічні коливання можна зобразити графічно за допомогою методу обертання вектора амплітуди, або методу векторних діаграм. Для цього з довільної точки О, взятої на осі х, під кутом φ, який дорівнює початковій фазі коливання, відкладається вектор , модуль якого дорівнює амплітуді А гармонічного коливання (рис. 2).

Рис. 2

Якщо цей вектор привести до обертання з кутовою швидкістю то проекція кінця вектора буде переміщуватися по осі x і набувати значень від -А до + А, а коливна величина буде змінюватися з часом за законом х = Acos(ω_οt + φ). У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертання вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливну величину подають комплексним числом. Відповідно до формули Ейлера, для комплексних чисел

(7)

де - уявна одиниця. Тому рівняння гармонічного коливання (1) можна записати також в експонентній формі так:

(8)

Права частина рівняння (8) є рівнянням гармонічних коливань.

2. Механічні гармонічні коливання

Нехай матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання уздовж осі координат x біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат. Тоді залежність координати x від часу t задається рівнянням (1),

(9)

Відповідно до виразів (4) і (5) швидкість і прискорення а коливної точки будуть дорівнювати:

(10)

Сила F = ma, що діє на коливну матеріальну точку масою т, у відповідності з рівнянням (1) дорівнює

Отже сила, яка діє на матеріальну точку при гармонічних коливаннях, пропорційна зміщенню матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежну сторону.

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонійні коливання, дорівнює

(11)

або

К = (12)

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F, дорівнює

П = - (13)

або

П = (14)

Рис. 3

Додавши (13) і (14), одержимо формулу для повної енергії гармонічного коливання:

(15)

З формул (12) і (14) видно, що К і Π змінюються в часі з частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічного коливання. На рис. 3 показані графіки залежності х, К і Π від часу.

Оскільки середні значення то з формул (11), (13) і (15) випливає, що

3. Гармонічний осцилятор. Пружинний, фізичний і математичний маятники

Гармонічним осцилятором називається система, яка описується диференціальним рівнянням виду (6):

(16)

Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю в багатьох задачах класичної і квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур (для струмів і напруг настільки малих, щоб елементи контуру можна було вважати лінійними).

Пружинний маятник. Пружинний маятник – невеличке тіло масою т, яке підвішене до абсолютно пружної пружині і здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = - kx, де k - коефіцієнт пружності, у випадку пружини, названий жорсткістю (рис. 4).

Рис.4

Диференціальне рівняння коливання маятника буде мати вигляд

або

(17)

З виразів (16) і (1) випливає, що пружинний маятник виконує гармонічні коливання за законом з циклічною частотою

і періодом

Формула (17) справедлива для пружних коливань у межах, для яких виконується закон Гука, тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.

В цьому випадку потенціальна енергія пружинного маятника, згідно (13) дорівнює

(18)

Фізичний маятник. Фізичний маятник – тверде тіло, яке під дією сили тяжіння виконує гармонічні коливання відносно нерухомої горизонтальної осі або підвісу, що не збігається з центром мас С тіла (рис. 5).

Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут , то відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Μ сили F_τ, яка повертає маятник до положення рівноваги буде дорівнювати

(19)

де J - момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку О, l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, – сила, яка повертає маятник у попереднє положення, (знак мінус обумовлений тим, що зростання і швидкості завжди протилежні; sinα α відповідає малим коливанням маятника, тобто малим відхиленням маятника від положення рівноваги.

Рис. 5

Рівняння (19) можна записати у вигляді

або

Приймаючи, що одержимо рівняння ідентичне з (16), розв’язком якого є функція:

(20)

З виразу (20) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник виконує гармонічні коливання з циклічною частотою і періодом

(21)

де _– приведена довжина фізичного маятника.

Точка 0' на продовженні прямої 0С, яка відстоїть від осі підвісу на відстані приведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника (рис. 5). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, що 00' завжди більше 0С = l. Точка підвісу 0 і центр коливань 0' мають властивість взаємозамінності, якщо вісь підвісу перенести в центр коливань, то точка 0, в якій розміщувалась раніше вісь підвісу стане новим центром коливань і період коливань фізичного маятника не зміниться.

Математичний маятник. Математичний маятник – ідеалізована система, яка складається з матеріальної точки масою т, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці, і коливається під дією сили тяжіння (рис.6).

Гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитці. Момент інерції математичного маятника дорівнює

(22)

де l - довжина маятника.

Рис. 6

Так як математичний маятник можна подати як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці – центрі мас, то, підставивши вираз (22) у формулу (21), одержимо знайомий вираз для малих коливань математичного маятника:

(23)