PHYS14- (Физика)

сматривать изолированно одно от другого, а надо объединять в “че-

тырёхмерный мир”, или “пространство-время”, в рамках которого только и возможно дать правильное физическое описание явлений природы. Инерциальные системы отсчёта - отражение свойств сим-

метрии четырёхмерного мира, и ничего более. Другими словами, в

вопросе об инерциальных системах отсчёта речь идёт о чисто геометрических свойствах симметрии четырёхмерного пространства-времени.

Существуют преоброзования - преоброзования симметрии четырёх

мерного пространства-времени, при которых оно переходит само в себя подобно тому,как наше трёхмерное пространство переходит са-

мо в себя при произвольных параллельных переносах и произвольных

поворотах вокруг любой оси на любой угол. Все декартовы системы

координат в трёхмерном пространстве, полученные параллельным переносом и (или)произвольным поворотом относительно произвольно

направленной оси одна из другой,-равноправны.

Обсуждаемую скорее геометрическую, чем физическую гипотезу

наиболее наглядно сформулировал Минковский в работе 1909 г. Но

ранее него её совершенно чётко сформулировал Пуанкаре,хотя в ма-

тематическом и намного более строгом, но не столь наглядном виде,

как у Минковского. Этой гипотезы по существу придерживался и Эин-

штейн в работе 1905 г.

4.14. Геометрическая симметрия четырёхмерного мира

Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в

физических, и не только физических исследованиях. Использование име-

ющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.

Пространство, в котором разыгрываются физические события, -

наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или

пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относи-

тельности, - тоже обладают определённой симметрией.

Объясним, - Что это означает? Какой именно симметрией обладает

четырёхмерный мир?

Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометри-

ческой фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально

правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высо-

кой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют

операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.

Если представить себе, что мы распологаем двумя идентичными

экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и

“совмещение” этих двух кубов друг с другом при перемещениях и по-

воротах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани

кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение

можно осуществлять по-разному : повернув предварительно каким-либо определённым образом второй куб перед совмещением его с пер-

вым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще

не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется

тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют

и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый

предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром.

Наличие таких операций, которые называют “операциями симметрии”

позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свиде-

тельствуют о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры.

Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то,

что в математике называют группой симметрии этой фигуры.

Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её симметрия. У куба, с учётом тождественной операции,

которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их ока-

зывается 48. У треугольника на плоскости их 3.

Может случиться, что множество операций симметрии в группе сим-

метрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой

симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси,

проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно беско-

нечно.

Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства.

Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии,

переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёх-

мерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразо-

ваний параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на

любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов прос-

транства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую

точку пространства.

С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связан-

на инвариантность всех его свойств относительно выбора любой пря-

моугольной системы координат OXYZ , центр которой можно помес-

тить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.

Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже

состоит из бесконечного числа преоброзований, а имено-из преобро-

зований произволььных параллельных переносов пространства вдоль

любой “прямой” в этом пространстве, включая и ось времени, и про-

извольных “поворотов” пространства на любой “угол” вокруг любой

“оси” в этом пространстве, включая и “повороты”, не затрагивающие

осей y и z. Такие повороты какраз и являются рассматриваемыми нами

здесь преобразованиями Лоренца.

С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана

инвариантность его геометрических свойств относительно выбора од-

ной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из дру-

га равномерным движением в произвольном направлении с произволь-

ной постоянной скоростью. Этот класс “систем координат” в четырёх-

мерном мире или по-другому - систем отсчёта, отражающих внутрен-

нюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом

инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.

Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии прост-

ранства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины

называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.

В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инва-

риантными относительно выбора декартовых осей координат, являются

длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрез-

ками. Это самые важные количественные геометрические величины в на-

шем трёхмерном пространстве.

Если имеем две точки М₁ и М₂ с координатами x₁,y₁,z₁ и x₂,y₂,z₂, в де-

картовой системе координат К , то квадрат длинны r отрезка между этими

точками даётся известным выражением

r²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)².

Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’ , y1’ , z1’ и x2’ , y2’ , x2’ обозначают

координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К’ ,

то имеем равенство

r’² = (x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²=

= (x₂ - x₁ )²+(y₂ -y₁ )²+(z₂ -z₁ )²= r²,

причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преоброзования координат.

Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф,про-

изводимым по правому винту вокруг оси z,то указанные формулы преоб-

разования имеют вид:

x’ = x cos Ф - y sin Ф,

y’ = x cos Ф - y cos Ф,

z’ = z.

В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстоя-

ние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-

венных точечных события М₁ и М₂ с координатами x₁, y₁, z₁, t₁ и x₂, y₂,

z₂, t₂ отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с

координатами x₁’,y₁’,z₁’,t₁’ и x₂’,y₂’,z₂’, t₂’ отсчитанными относительно

другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’,инвариантна величина

квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интер-

вала:

s’²=(x₂’-x₁’)²+(y₂’-y₁’)²+(z₂’-z₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²=

=(x₂ -x₁ )²+(y₂ -y₁ )²+(z₂ -z₁ )²-c²(t₂ -t₁ )²= s²

В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-

тельно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые

мы рассматривали выше:

x - vt t - xv/c²

x’= , y’=y, z’=z, t’=

1-v²/c ² 1-v²/c²

Действительно,

1

s’²=(x₂’-x₁’)²-c²(t₂’-t₁’)²= *

1 - v²/c²

*{(x₂-vt₂-x₁-vt₁)² - c² (t₂-x² v/c²-t₁-x₁v/c)²} =

1

= {(x₂-x₁)² - 2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)+v²(t₂-t₁)²}-

1-v²/c²

1

- {-c²(t₂-t₁)²+2v(x₂-x₁)(t₂-t₁)-v²/c² (x₂-x₁)²}=

1-v²/c²

=(x₂-x₁)² - c²(t₂-t₁)²=s²

Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s²

играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-

мерном пространстве.

В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном

трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-

дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-

вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-

щих точек, “расстояния” между которыми равно нулю. Например,

рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости

xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-