План-конспект занятия

По теоретической физике

Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61

Филатова Александра Сергеевича

Дата проведения занятия: 13.12.2000

Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования»

Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык использования канонических преобразований. Научить осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность.

Тип занятия: практическое.

Ход занятия

Краткие теоретические сведения

Скобки Пуассона:

Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований.

Примеры решения задач

№9.6 [3] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде:

№9.7 [3] Показать, что для функции канонических переменных имеют место соотношения:

№9.10 [3] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного переноса системы в пространстве.

Решение:

По определению обобщенный импульс есть:

Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе явной зависимости по времени:

Тогда следуя формуле :

При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки этого тела преобразуются по закону:

При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны изменение гамильтониана равно:

Где суммирование идет по всем частицам системы. Но поскольку при параллельном переносе для каждой частицы , можем вынести его за знак суммы. Принимая во внимание, что , получим:

С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида:

Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме:

Сопоставляя и находим:

Т.о. согласно :

Что означает, что импульс системы является интегралом движения.

№9.9 а) [3] Доказать, что скобки Пуассона .

Принимая во внимание, что , и что импульсы и координаты являются независимыми переменными, получим:

По определению:

Проверяя равенство для всех значений i, т.е. для поочередно убеждаемся в тождественности последнего.

№10.14 а-1) [4] Вычислить скобки Пуассона .

В силу равенств :

Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров (сам вектор является тензором I ранга):

,

где – полностью антисимметричный тензор, причем

,

остальные компоненты тензора равны нулю.

Подставляя формулу в выражение , получим:

Посчитаем по полученной формуле , к примеру, :

№9.31 [3] Найти каноническое преобразование, соответствующее производящей функции: .

Решение:

Поскольку производящая функция явно от времени не зависит, .

Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов. Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать координаты импульсами, а импульсы координатами (см. ). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными величинами.

№9.37 [3] Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с производящей функцией

,

где – интеграл движения.

Решение:

Запишем канонические преобразования:

Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического преобразования есть

Из канонических уравнений следует, что

Выражая из уравнения и подставляя его в уравнение , с точностью до членов первого порядка малости, получим:

Подставим и в выражение для изменения гамильтониана . Получим:

По условию функция f является интегралом движения. А значит

С другой стороны

Подставляя в последнее выражение равенства , получаем:

Сопоставляя и , делаем вывод, что изменение гамильтониана

,

что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей функцией.

Домашнее задание:

№9.8 [3] Показать, что функция является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних сил.

Решение:

Для свободной частицы:

Согласно :

№9.9 б) [3] Доказать, что скобки Пуассона .

№10.14 а) [4] Вычислить скобки Пуассона: , .

№9.32 [3] Показать, что производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование.

Литература:

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с.

2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с.

3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.

4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.

5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с.

6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с.

Студент-практикант: Филатов А.С.

5