вера (МАТАН 2015 ВСЕ 30 БИЛЕТОВ (ответы к билетам) (3,57 Mb)), страница 2

 прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность^[3]. 

Следствия

5.  для  , 

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

(О предельном переходе в равенстве). Если значения функций и

  в окрестности некоторой точки  равны, то и ихпределы в этой точке совпадают:

(О предельном переходе в неравенстве). Если в окрестности некоторой точки

  значения функции  не превосходят соответствующих значений функции ,

то и предел функции  в этой точке не превосходит предела функции  в этой же точке:

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы   и   и докажем, что они равны 1.

Пусть  . Отложим этот угол на единичной окружности ( ).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к

единичной окружности в точке  . Точка H — проекция точки K на ось OX.

 (1)

(где   — площадь сектора  )

(из  :  )

Подставляя в (1), получим:

Так как при  :

Умножаем на  :

=>

 называется пределом функции   в точке  , если  ,   то есть  , соответствующая последовательность значений  , то есть  .

Сиськи покоши

Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки

  , и дифференцируема в ней:  . Касательной прямой к графику

функции   в точке   называется график линейной функции, задаваемой уравнением

.

Пусть дана функция   и   — внутренняя точка области определения   Тогда

•  называется точкой локального максимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

•  называется точкой локального минимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка   является точкой экстремума функции  , определенной в некоторой окрестности точки  .

Тогда либо производная   не существует, либо  .

7