149268 (Автоматизированное управление в технических системах), страница 3

Рассмотрим основные понятия, используемые в операционной модели управления запасами:

Q₁ - объем пополняемого запаса (объем заказываемой партии),шт.

U - скорость поступления заказанной партии, шт./ед. вр.;

возможно U = ∞, т.е. мгновенное поступление всей партии Q ;

V - скорость расходования запаса, шт./ед. вр.;

t^Q - интервал между соседними заказами, ед.вр.;

Т - рассматриваемый (плановый) период времени, ед. вр.

Рассмотрим издержки, связанные с созданием и содержанием запаса. Эти издержки можно сгруппировать следующим образом:

1) затраты на создание Запаса;

2) затраты на закупку партии;

2) затраты на хранение запасов.

Затраты на создание запаса включают расходы на оформление заказа, размещение и заключение договоров, почтовые и телеграф­ные расходы, расходы по разъездам агентов снабжения, оплату учет­ных оверашй и т.д. В первом приближении можно считать, что зат­раты на создание запаса не зависят от объема заказа Q. Обозна­чим затраты на создание запаса a , руб.

Затраты на закупку партии определяются закупочными ценами единицы запасаемого продукта и объемом партии Q . Затраты этого вида неизбежны в том случае, если необходимый продукт неп­рерывно поставляется и тут же потребляется без образования запа­са. Поэтому эти затраты не участвуют собственно в модели созда­ния и содержания запасов.

3 затраты на хранение запасов входят расходы на складские операции; амортизационные расходы использования складского помещения; потери за счет омертвления средств при хранении запаса; потери за счет порчи и морального старения хранящегося продукта; загрузочно-разгурочные, транспортные расходы и т.д. Пусть рас­ходы на хранение единицы продукта в единицу времени составляют b руб./ед.вр. Обозначим расходы в течение цикла t^Q на создание и хранение единицы продукта С. ,руб./шт. Эта величина складывается из затрат на создание в запас единицы продукта (1-я группа) и затрат на хранение единицы продукта (3-я группа).

Пусть за период Т можно произвести несколько заказов на однородный продукт с объемом каждого заказа Q. Если размер разового заказа велик, то число поставок за период Т неболь­шое, и издержки 1-й группы невелики, но при этом возрастает среднее количество хранимого запаса и возрастают затраты 3-й группы.

Если же делать заказы малыми партиями, то затраты на хране­ние небольшого запаса будут велики, но зато из-за большого коли­чества поставок в течение периода Т возрастут затраты на оформление большого числа заказов (издержки 1-й группы). Таким образом, задача определения наилучших значений Q и t^Q яв­ляются оптимизационной и суть ее сводится к отысканию оптимальных значений Q и t^Q, минимизирующих суммарные расходы на соз­дание и хранение запасов за весь плановый период Т

Рассмотрим задачу определения значений Qo и t^Q - для двух моделей: для модели без страховых запасов и для модели со страховыми запасами.

Модель без страховых запасов

Предполагается, что U и V ( u>V) - постоянные вели­чины, и в момент полного исчерпания запасов начинается новая поставка, т.е. дефицит продукта не допускается. Графически дейст­вие такой модели изображено на рис.3.1.

Уровень запасов в течение полного цикла t^Q движения запа­сов, начинающийся в момент времени t = 0 можно описать следующим образом:

(3.1.)

Примем во внимание следующие очевидные соотношения:

(3.2.)

где Q - объем заказа.

С учетом (3.2) выражение (3.1) можно переписать в виде

(3.3.)

Определим средний объем запаса Q за цикл - t^Q:

(3.4.)

Тогда среднее время хранения единицы запасенного продукта равно

Пусть b, руб./(шт.ед.вр.), есть затраты на хранение единицы продукта в единицу времени. Тогда за цикл tQ удельные затра­ты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., составят

(3.5.)

Удельные затраты на создание в запас единицы продукта,руб./шт., равны

(3.6.)

Тогда суммарные расходы на создание и хранение единицы запаса, руб./шт., в течение цикла t^Q составят

(3.7.)

Если изобразить графически зависимость затрат на создание и содержание запасов от объема заказа Q (рис.3.2), то нетрудно убедиться, что суммарная кривая C(Q) имеет экстремум, поло­жение которого определяется соответствующими значениями величин правой части соотношения (3.7). Определим оптимальный объем заказываемой партии Q₀. из условия

(3.8.)

Решая (3.8), получим

(3.9.)

Если постановка осуществляется мгновенно, т.е. = 0 и U = , оптимальный объем пратии равен

(3.10.)

Из сопоставления (3.10) и (3.9) следует, что при постепенной поставке заказа объем заказываемой партии должен быть больше.

Величина удельных дополнительных расходов при оптимальном объеме заказа q₀ равна

(3.11.)

Наконец, оптимальная величина интервала между соседними зака­зами составляет

(3.12.)

Модель со страховым запасом

Графически действие этой модели изображено на рис.3.3., Прив­лекая рассуждения, которые использовались при рассмотрении пре­дыдущей модели, нетрудно получить следующие результаты. Средее количество запаса Q_ср за цикл t^Q составит

(3.13)

При постоянной скорости расходования запасов V среднее время хранения единицы запасенного продукта равно

(3.14.)

Это выражение отличается от значения tсp для предыдущей модели наличием постоянного слагаемого Q_cp/V . За цикл t^Q удельные затраты на хранение единицы запасенного продук­та, руб./шт., определяются по формуле

(3.15.)

Удельные затраты за цикл на создание в запас единицы продукта, руб./шт., равны по-прежнему

(3.16.)

В (3.16) не входят расходы на образование Q^CTP, поскольку стра­ховой запас создается однажды и циклически не возобновляется. Дополнительные расходы на запасание и хранение единицы, руб./шт., для заказа объемом Q составляют

(3.17.)

Переменная С. в (3.17) имеет экстремум по Q и величина экстремального значения C₀ , очевидно, отличается от (3.11) на постоя ную величину bQ^стр/V

Приравняв нулю производную dc/dQ, , получим:

откуда (3.18.)

Следовательно, оптимальный объем заказываемой партии в модели со страховым запасом такой же, как и для модели без страхового запаса. Это означает, что и выражение для оптималвного интервала восполнения заказов имеет прежний вид

(3.19.)

Величина удельных дополнительных расходов Cо , соответствую щих Q₀ равна

(3.20.)

что отличается лишь постоянным слагаемым b^стр/V от расхо­дов для модели с

нулевым страховым запасом.

В модели страховых запасов весьма существенным является воп­рос определения оптимального уровня страхового запаса Qo^стр Для определения Q^стр необходимы предположения о вероятност­ном поведении задержек пополнения запасов t и потерях за­казчика в результате этих задержек.

Предположим, что задержка t в выполнении данного заказа не зависит от задержек выполнения других заказов. Кроме того, предположим, что вероятность того, что эта задержка превзойдет время t , выражается экспоненциальной зависимостью, т.е.

Тогда

Плотность вероятности случаной величины t имеет вид

Для экспоненциального распределения , ед. вр. и, следовательно,  выражается в 1/ед. вр. Физически пара­метр  соответствует среднему количеству задержек в еди­ницу времени, а величина 1/ есть средняя продолжительность задержки t . Предположим далее, что потери заказчика в еди­ницу времени простоя равны В руб,/ед.вр.

Время, в течение которого хватит страхового запаса для работы с прежним расходом V , равно

Если задержка t > t^стр , то заказчик начинает нести потери вследствие простоя. Величина этих потерь равна В(t-t^стр). Величина средних потерь заказчика вследствие простоев опреде­ляется математическим ожиданием случайной величины которое можно представить в виде

Рис. 3.4

Плотность вероятности случайной величины t > t^стр изобра­жена на рис.3.4. Следовательно, для В можно записать

В расчете на единицу заказанного продукта удельные средние по­тери, руб./шт., вследствие простоев равны

Дополнительные удельные расходы, руб./шт., на хранение единицы страхового запаса есть

Таким образом, общие удельные (на единицу продукта) расходы по хранению страхового запаса плюс средняя величина удельных потерь за счет возможных задержек выполнения заказов определяются вы­ражением

Из условия можно найти оптимальную величину стра­хового запаса

Ясно, что размер потерь от простоя объекта в единицу времени должен превышать расходы на хранение запаса объема Q₀ в единицу времени, иначе бы эксплуатация объекта стала делом не­выгодным, а величина страхового запаса Q^ctp₀ получилась бы отрицательной.

Кроме рассмотренных возможны и более сложные модели обра­зования запасов, например: при различных уровнях оптовых заку­почных цен; при ограничениях на оборотные средства, размер складов; при необходимости создавать многономенклатурные запасы;

при вероятностном характере спроса и потребления запасаемого, продукта и т.д.

1. Достижение каких целей преследуется при оперативном управлении?

Цели и задачи оперативного управления производством. Эффект от автоматизации оперативного управления. Информационное обеспечение оперативного управления. Постановка задачи опера­тивного управления как выдачи составления расписаний. Критерии оптимизации расписаний. Задача составления расписаний как ком­бинаторная задача. Методы решения задачи составлений расписаний.