PRKL1H2 (Расчет стержневых систем и бруса на растяжение, Расчет нагруженной балки, Экзаменационные вопросы по прикладной механике)

комитет по высшему образованию Российской Федерации

Московская Государственная Академия

Тонкой Химической Технологии

им. М.В. Ломоносова

кафедра :

“Прикладная механика и основы конструирования.”

Расчетно-графическая работа ¹ 2 :

“Расчет нагруженной балки”

Вариант ¹: 24

студент: Холин Андрей Юрьевич (группа Е-203)

преподаватель: Сергеев Александр Иванович

1998г.

Задание ¹ 1

1.1 Определить реакции опор

1.2 Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

1.3 Подобрать номер двутаврового профиля для Ст. 3 [s] = 160 Мпа

1.4 Начертить в масштабе двутавровый профиль по ГОСТ 8239-72 и построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки.

Общая схема нагрузки балки (рис. 1):

Схема нагрузки балки, 24 вариант (рис. 2):

Эквивалентная схема нагрузки свободной балки с правильным направлением данных величин (P,q,M) (рис. 3):

Эквивалентная схема с правильным направлением данных и искомых величин (P,q,M,Y_E,Y_F) (рис. 4):

Дано:

Таблица 1: “Расположение элементов нагрузки”.

A1	A2	B1	B2	C	D	L [м]
2,5	1,0	1,5	2	0,2	1,2	3,1

Таблица 2: “Величины элементов нагрузки”.

P1[кН]	P2[кН]	M1[кН•м]	M2[кН•м]	q [кН/м]
-8,0	10,0	16	11	20

Знаки величин принимаются относительно направлений, обозначенных на рисунке.

1.1 Найти: Y_E-? Z_E-? Y_F-? Z_F-?

Решение:

Заменим опоры в точках E и F их реакциями. Таким образом несвободное тело EF становится свободным, и к нему можно применить условия равновесия. Для поперечных сил положительным принято направление по оси y ; положительным моментом - момент, сжимающий верхние волокна балки. Для расчета реакций опор распределенную нагрузку q заменим равнодействующей R, приложенной в середине отрезка CD действия нагрузки q, в точке с координатой (C+D)/2. R = q•Dl; Dl = D – С.

Условия равновесия тела EF :

åQyn = 0 : сумма поперечных сил

åQzn = 0 : сумма продольных сил

åMn = 0 : сумма изгибающих моментов

Силы P₁, P₂, R приложены перпендикулярно к оси z, поэтому их проекции на эту ось будут нулевыми по величине, åQzn = 0.

Уравнение суммы поперечных сил :

Y_E – q • (D – С) + P₂ + P₁ + Y_F = 0

Уравнение суммы изгибающих моментов относительно точки E :

– (D – С) • q • (С +D) / 2 + P₂ • A₂ – M₁ + M₂ + P₁ • A₁ + Y_F • L = 0

Знаки в уравнениях определены исходя из направлений, обозначенных на эквивалентной схеме нагрузки балки (рис.3), поэтому в уравнениях используются модули нагрузочных величин (½P₁½,½P₂½,½R½,½M₁½,½M₂½) и обозначаются без векторной черты. Возможные отрицательные значения искомых величин Y_E и Y_F будут означать противоположное их направление выбранному на схеме.

Из уравнения моментов вычисляем силу Y_F :

Y_F = [(D – C) • q • (С +D) / 2 – P₂ • A₂ + M₁ – M₂ – P₁ • A₁] / L

Y_F = [(1,2–0,2)•20•(1,2+0,2)/2–10,0•1,0+16–11–8,0•2,5] / 3,1 » –3,6

Из уравнения поперечных сил вычисляем силу Y_E :

Y_E = q • (D – С) – P₂ – P₁ – Y_F

Y_E » 20 • (1,2 – 0,2) – 10,0 – 8,0 – (–3,6) = 5,6 [кН].

Для проверки составим уравнение моментов относительно другой точки. Знаки в уравнении определены исходя из эквивалентной схемы балки (рис.4), где искомые реакции опор Y_E и Y_F имеют правильные направления.

Уравнение суммы изгибающих моментов относительно точки F :

–(D–С)•q• [(L–D)+(L–C)]/2+Y_E•L+P₂•(L–A₂)+P₁•(L–A₁)+M₁–M₂=0

Обращение левой части уравнения в нуль при подстановке данных и найденных величин подтверждает правильность значений найденных реакций опор Y_E и Y_F.

–(1,2–0,2)•20•[(3,1–1,2)+(3,1–0,2)]/2+Y_E•3,1+10,0•(3,1–1,0)+

+8,0•(3,1–2,5)+16–11 = 0; –17,2+5,6•3,1 » 0.

1.2 Найдем зависимость внутренних усилий (поперечных сил Q и изгибающих моментов M) на протяжении балки от координаты z, начиная от точки E (z - расстояние до точки E). Бесконечно близко¹⁾ слева (со стороны точки E) к точкам приложения сил и моментов проведем сечения. Таким образом, на протяжении балки образуются 7 участков. Рассмотрим, начиная от точки E, изменение внутренних напряжений (Q и M) балки на каждом участке в зависимости от координаты z.

z_n - расстояния от точки E до точек приложения нагрузок, z₀ = 0.

Пусть Q(z) - функция зависимости внутренней поперечной силы (балки) от координаты z; 0 £ z < z₇.

_n

RQ_n = – lim Q(z) = – å lim Q¢_k(x)

^{z ® zn слева k=0 x ®(zk–zk–1) слева}

Пусть Q¢_n(x), x = z – z_n–1 - функция зависимости внутр. попереч. силы от координаты z на участке n, если z лежит на левой границе участка, то (z – z_n–1) = 0. Пусть RQ_n - реакция справа отсеченной части балки, тогда

Изменение внутренней поперечной силы на участке n.

Знаки для сил и моментов определены исходя из схемы балки (рис. 5), в формулах используются модули всех величин.

n	Q¢n(x), x = z – zn–1	пределы z	RQn	Rqn (числ. знач.)
1	YE	0 £ z < z1	–YE	– 5,6
2	– q • (z – z1)	z1 £ z < z2	–YE + q • (z2 – z1)	–5,6+20•(10,0–0,2)=10,6
3	P2 – q • (z – z2)	z2 £ z < z3	–YE + q • (z2 – z1) – P2 + q • (z3 – z2)	10,6–10,0+20•(1,2–1,0)=4,6
4	0	z3 £ z < z4		4,6
5	0	z4 £ z < z5		4,6
6	0	z5 £ z < z6		4,6
7	P1	z6 £ z < z7	–YE + q • (z2 – z1) – P2 + q • (z3 – z2) – P1	4,6 – 8,0 » –3,6*

* реакция, действующая на правый край VII участка - есть реакция опоры, совпадение ее численного значения с Y_F означает правильность вычислений.

1⁾ Бесконечно близко для того, чтобы было правомочным утверждение, что найденные зависимости Q(z) и M(z) справедливы на всем рассматриваемом участке, при Z_n–1 £ Z < Z_n.