Разработка полной математической модели процессов в расстойном шкафу

Сведения из теории термодинамики и теплопередачи

Разработка полной математической модели процессов в расстойном шкафу производится по законам термодинамики и теплопередачи (теплообмена).

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением. Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Теплопроводность представляет собой молекулярный процесс передачи теплоты.

Известно, что при нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь при своем беспорядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс распространяется по всему телу. То есть теплороводность представляет процесс распространения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в соприкосновении и имеющими различные температуры. Например, если нагревать один конец железного стержня, то через некоторое время температура другого его конца также повысится. Перенос теплоты теплопроводностью зависит от физических свойств тела, от его геометрических размеров, а также от разности температур между различными частями тела. При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Теплопроводность l (или коэффициент теплопроводности) характеризует способность данного вещества проводить теплоту.

Q = (T₂ - T₁)´l´S/d - тепловой поток через плоские стенки, где d - толщина стенки, S - площадь поверхности стенки, (Т₂ - Т₁) - разность температур на поверхностях стенки.

Второй вид перноса теплоты - ковекция - происходит только в газах и жидкостях. Этот вид переноса осуществляется при перемещении и перемешивании всей массы неравномерно нагретых жидкости или газа. Конвекционный перенос теплоты происходит тем интенсивнее, чем больше скорость движения жидкости или газа, так как в этом случае за единицу времени перемещается большее количество частиц тела. В жидкостях и газах перенос теплоты конвекцией всегда сопровождается теплопроводностью, так как при этом осуществляется и непосредственный контакт частиц с различной температурой. Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называют конвективным теплообменомобменом; он может быть вынужденным и свободным. Если движение рабочего тела вызвано искуственно (вентилятором, компрессором, мешалкой и др.), то такой конвективный теплообмен называют вынужденным. Если же движение рабочего тела возникает под влиянием разности плотностей отдельных частей жидкости от нагревания, то такой теплообмен называют свободным (естественным) конвективным теплообменом.

В большинстве случаев перенос теплоты осуществляется несколькими способами, хотя часто одним или даже двумя способами пренебрегают ввиду их относительно небольшого вклада в сумммарный сложный теплоперенос.

При расчете теплопередачи конвекцией между твердым телом и газом (жидкостью) используют выражение

Q_конв = (T₂ - T₁)´a´S,

где a - коэффициент теплоотдачи от твердого тела к газу,

S - площадь поверхности омываемого твердого тела,

Т₂ и Т₁ - температуры тела и газа.

При расчете теплопередачи через плоскую стенку используют следующее выражение

Q_конв = (T₂ - T₁)´k´S,

где k - коэффициент теплопередачи (характеризуе интенсивность теплопередачи от одного теплоносителя к другому через разделяющую их плоскую стенку);

S - площадь поверхности стенки;

(Т₂ - Т₁) - разность температур на поверхностях стенки.

Коэффициент теплопередачи расчитывается по формуле

,

где d - толщина стенки;

l - коэффициент теплопроводности стенки;

a₁ - общий коэффициент теплоотдачи к внутренней поверхности стенки;

a₂ - общий коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности стенки .

Общие коэффициенты теплоотдачи методически оцениваются одинаково - как сумма коэффициентов теплоотдачи конвекцией (a_кон) и излучением (a_изл):

a_общ = a_кон + a_изл .

Для расчета теплоты, необходимой для нагрева тел, пользуются формулой теплоемкости:

Q = c ´ m ´ DТ,

где с - коэффициент теплоемкости тела;

m - масса тела;

DТ - разность начальной и конечной температур тела.

Модель поддержания заданной температуры

Во время работы расстойного шкафа в его камере протекают сложные теплообменные процессы.

Основным источником тепла в расстойном шкафу являются нагревательные элементы (ТЭНы), находящиеся в потоке воздуха, циркуляция которого обеспечивается циркуляционным насосом. Подогретый воздух передает тепловую энергию тестовым заготовкам, прогревая их. Одновременно часть энергии расходуется на прогрев тележек, а часть энергии теряется за счет теплопередачи через стенки расстойного шкафа. При работе системы поддержания заданной влажности вместе с паром в камеру расстойного шкафа также попадает энергия. Следовательно, уравнение теплового баланса расстойного шкафа выглядит следующим образом:

Q_возд = Q_тэн + Q_пара - Q_теста - Q_тел - Q_ст ,

где Q_возд - теплота затрачиваемая на прогрев воздуха;

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

Q_пара - количество теплоты, вносимое в камеру расстойного шкафа вместе с паром, необходимым для поддержания в камере расстойного шкафа заданного уровня относительной влажности воздуха;

Q_теста - количество теплоты, идущее на прогрев теста;

Q_тел - количество теплоты, идущее на прогрев тележек;

Q_ст - потеря тепла через стенки.

Теплота, затрачиваемая на прогрев воздуха, может быть описана как:

Q_возд = c_возд ´m_возд ´(dT_возд/dt),

где c_возд - теплоемкость воздуха:

c_возд = (с_в + c_п ´ d_в/1000),

где с_в - теплоемкость сухого воздуха;

с_п - теплоемкость перегретого пара;

d_п - влагосодержание воздуха.

Так как влагосодержание влажного воздуха зависит от его температуры и влажности, то и теплоемкость влажного воздуха зависит от этих параметров.

m_возд - масса воздуха в расстойном шкафу;

m_возд = r_возд ´ V_возд ,

где r_возд - плотность влажного воздуха в камере расстойного шкафа;

V_возд - объем воздуха в камере расстойного шкафа.

dT_возд/dt - скорость изменения температуры воздуха.

Откуда:

Тепловой поток с поверхности ТЭНов описывается с помощью уравнения конвективной теплопередачи:

Q_тэн = a_тэн´S_тэн´(Т_тэн - Т_возд),

где a_тэн - коэффициент теплоотдачи ТЭНов;

S_тэн - площадь поверхности ТЭНов;

Т_тэн - температура ТЭНов;

Т_возд - температура циркулирующего воздуха.

При этом, излишки энергии ТЭНов идут на изменение их температуры:

,

где dT/dt - скорость изменения температуры ТЭНов;

Р_тэн - мощность ТЭНов;

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

c_тэн - теплоемкость материала ТЭНов;

m_тэн - масса ТЭНов.

В связи с тем, что в процессе расстойки необходимо поддерживать заданную температуру, ТЭНы включены только пока температура воздуха в камере расстойного шкафа меньше заданной. Как только температура воздуха превышает заданный предел на допустимую величину, система управления подает сигнал на отключение ТЭНов. При этом Р_тэн = 0. При падении температуры за нижний предел система управления подает сигнал на включение ТЭНов. При этом Р_тэн = Р_{тэн зад} , где Р_{тэн зад} - номинальная мощность ТЭНов.

Тепловой поток, вносимый с паром, расчитывается по формуле:

Q_пара = (Р_{тен вл} / r) ´ h_п,

где Р_{тен вл} - мощность ТЭНов, используемых для подогрева и испарения воды, с целью увлажнения воздуха в расстойном шкафу;

r - теплота парообразования воды;

h_п - удельная энтальпия насыщенного пара.

Тепловой поток, получаемый тестовыми заготовками и используемый для их прогрева, может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_теста = a_теста ´ S_теста ´ (Т_возд - Т_теста),

где a_теста - коэффициент теплоотдачи поверхности тестовых заготовок;

S_теста - площадь поверхности тестовых заготовок;

Т_теста - температура тестовых заготовок, скрость изменения которой, с учетом того, что при расстойке в тестовых заготовках выделяется энергия Q_{теста выд}, составляет:

,

где c_теста - теплоемкость тестовых заготовок;

m_теста - масса тестовых заготовок.

Аналогично, тепловой поток, получаемый тележками и используемый для их прогрева, также может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_тел = a_тел ´ S_тел ´ (Т_возд - Т_тел),

где a_тел - коэффициент теплоотдачи поверхности тележек;

S_тел - площадь поверхности тележек;

Т_тел - температура тележек, скрость изменения которой:

,

где c_тел - теплоемкость тележек;

m_тел - масса тележек.

Потери теплоты через стенки расстойного шкафа рассчитываются по уравнению теплопередачи:

Q_ст = k_cт ´ S_ст ´ (Т_возд - Т_ос),

где k_ст - коэффициент теплопередачи через стенки;

S_ст - площадь стенок камеры расстойного шкафа;

Т_ос - температура окружающей среды.

Следует учесть, что коэффициенты теплоотдачи конвекцией (a_тэн, a_теста, a_тел) и коэффициент теплопередачи k_ст (также зависящий от коэффициентов теплоотдачи поверхностей стенок) в свою очередь зависят от многих факторов: от температур поверхностей и омывающей их среды, от скорости движения последней, от ее теплопроводности, вязкости, плотности и теплоемкости (в свою очередь также зависящих от температуры среды), от конфигурации и состояния поверхностей и их геометрических размеров. Нахождение коэффициентов теплоотдачи конвекциеей возможно путем решения системы дифференциальных уравнений (Фурье-Кирхгофа, Навье-Стокса, сплошности(непрерывности), дифференциальноо уравнения теплообмена, описывающего процесс теплоотдачи на границах тела) с прибавлением краевых условий (геметрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс теплопередачи; физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела; граничные условия, характеризующие протекание процесса теплопередачи на границах тела; временные условия, характеризующие протекание процесса во времени). Это возможно лишь в некоторых частных случаях при использовании ряда упрощений, причем полученные решения не всегда согласуются с опытными результатами. Поэтому изучение конвективного теплообмена развивалось, как правило, экспериментальным путем. Однако чисто экспериментальное изучение какого-либо физического явления имеет тот недостаток, что его результаты имеют ограниченную ценность, так как применимы лишь к частному явлению. Это чрезвычайно усложняет эксперимент, заставляя опытным путем проверить зависимость данного явления от ряда факторов, а некоторые явления зависят от многих переменных. На помощь в этих случаях приходит теория подобия, позволяющая в известной степени обобщить полученные опытные результаты, распространить их на целую группу подобных явлений. Подобные системы характеризуются безразмерными комплексами, составленными из характеризующих явление величин, сохраняющими одно и то же численное значение. Такие величины носят название инвариантов или критериев подобия и обозначаются символами, состоящими из первых букв фамилий ученых, которые их ввели в употребление или вообще работали в данной области. Для определения критериев теплового подобия для передачи тепла в движущейся среде конвекцией используется дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье-Кирхгофа совместно с граничным уравнением теплообмена. На основе уравнения подобия процессов определяются соотношения между постоянными подобия, и из которых путем подстановки определяются критерии теплового подобия:

Nu = a ´ l / l - число Нуссельта.

Число Нуссельта характеризует собой условия теплопередачи между твердым телом и средой, оно содержит в себе искомую величину - коэффициент теплоотдачи a, коэффециент теплопроводности среды l и определяющий размер l, характеризующий собой геометрическое подобие.