Разработка и идентификация упрощенной математической модели процессов в расстойном шкафу

Принятые упрощения и допущения

В формулах конвекционной теплопередачи присутствуют коэффициенты теплоотдачи a. Как было показано ранее, коэффициенты теплоотдачи зависят от многих факторов: от температур поверхности и омывающей ее среды, скорости движения последней, ее теплопроводности, вязкости, плотности и теплоемкости, от конфигурации и состояния поверхности и омывающей ее среды. В связи с невозможностью математического описания данных коэффициентов, для их нахождения пользуются экспериментальными данными, широко используя теорию подобия, позволяющую в известной степени обобщить полученные опытные результаты. Но используемые для нахождения коэффициентов теплоотдачи критериальные уравнения содержат критерии подобия (Nu, Pe, Re, Pr, Gr), которые зависят от многих параметров поверхностей и омывающей их среды, некоторые из которых зависят от температуры среды и от разности между ней и температур омываемых ею поверхностей. Данные зависимости не описаны математически. Конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок в процессе их расстойки еще больше затрудняет точное нахождение коэффициента теплоотдачи их поверхности.

Конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок, а также на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа приводит к уменьшению абсолютной и относительной влажности в камере расстойного шкафа. Для поддержания заданной относительной влажности воздуха применяется испарение воды, контролируемое проектируемой системой управления. Но вместе с паром в камеру расстойного шкафа попадает дополнительная энергия. Конденсацию влаги на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа можно свести к минимуму путем их лучшей теплоизоляции. Так как найти точное количество конденсируемой на поверхности тестовых заготовок влаги не представляется возможным, то точное количество испаряемой воды и зависящее от него количество вносимой с паром энергии не поддается математическому описанию. Следует учесть, что конденсация влаги на поверхности тестовых заготовок происходит только в период. пока температура поверхности тестовых заготовок не достигнет температуры точки росы для данных параметров среды, то есть в первой половине операции расстойки. Далее конденсация прекращается, и необходимость в испарении воды для увлажнения воздуха в расстойном шкафу отпадает.

Также не является математически описуемым и коэффициент теплоемкости влажного воздуха (с_возд), зависящий от его температуры и влажности.

В связи с этим нами были приняты следующие упрощения и допущения:

• Коэффициенты теплоотдачи расчитываются по экспериментальным критериальным уравнениям. Учитывая, что температура воздуха в расстойном шкафу в установившемся режиме работы поддерживается системой управления в установленных пределах относительно заданной температуры (Т_зад), то параметры воздуха для нахождения критериев подобия берутся при неизменной температуре, равной заданной температуре (Т_зад) в камере расстойного шкафа.

• Коэффициент теплоемкости влажного воздуха расчитывается для заданных значений его температуры и относительной влажности.

• Энергия, вносимая с паром, не учитывается. Это возможно благодаря допущению о полном отсутствии конденсации в установившемся режиме работы расстойного шкафа.

• Камера расстойного шкафа считается абсолютно герметичной.

• Давление воздуха в камере расстойного шкафа постоянное (p=const).

• Рассматривается нагрев и охлаждение термически тонких тел ( a << l ¤ d ).

• Система поддержания влажности не рассматривается.

Уравнение теплового баланса расстойного шкафа

Уравнение теплового баланса расстойного шкафа:

Q_возд = Q_тэн - Q_теста - Q_тел - Q_ст ,

где Q_возд - теплота затрачиваемая на прогрев воздуха;

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

Q_теста - количество теплоты, идущее на прогрев теста;

Q_тел - количество теплоты, идущее на прогрев тележек;

Q_ст - потеря тепла через стенки.

Распишем все составляющие этого уравнения.

Теплота, затрачиваемая на прогрев воздуха

может быть описана как:

Q_возд = c_возд ´ m_возд ´ (dT_возд / dt),

откуда:

,

где dT_возд/dt - скорость изменения температуры воздуха.

c_возд - теплоемкость воздуха:

c_возд = (с_в + c_п ´ d_в/1000),

где с_в - теплоемкость сухого воздуха, при температуре 40°С : с_в = 1005 Дж/(кг´гр);

с_п - теплоемкость перегретого пара:

с_п = 2000 Дж/(кг´гр);

d_п - влагосодержание воздуха, при температуре 40°С и относительной влажности 75% оно равно:

d_п = 36,9 г/кг;

Таким образом:

c_возд= (1005+2000´36,9/1000) =1079 Дж/(кг´гр); m_возд - масса воздуха в расстойном шкафу;

m_возд = r_возд ´ V_возд ,

где r_возд - плотность влажного воздуха в камере расстойного шкафа, при температуре 40°С и относительной влажности 75%:

r_возд = 1,11 кг/м³;

V_возд - объем воздуха в камере расстойного шкафа:

V_возд = 2 м³; (Лен)

Таким образом:

m_возд = 1,11 ´ 2 = 2,22 кг; (Лен)

Тепловой поток с поверхности ТЭНов

описывается с помощью уравнения конвективной теплопередачи:

Q_тэн = К_тэн ´ (Т_тэн - Т_возд),

где Т_тэн - температура ТЭНов;

Т_возд - температура циркулирующего воздуха.

К_тэн - коэффициент, расчитываемый по формуле:

К_тэн = a_тэн ´ S_тэн ,

где S_тэн - площадь поверхности ТЭНов:

S_тэн = l_тэн ´ p ´ d_тэн ,

где l_тэн - длина ТЭНов;

d_тэн - диаметр ТЭНов,

Откуда:

S_тэн = 2 ´ p ´ 0,006 = 0,0377 м²;

a_тэн - коэффициент теплоотдачи ТЭНов. Данный коэффициент расчитывается по критериальному уравнению:

Nu = 0,238 ´ Re_f^0,6 ,

где Re_f - число Рейнольдса, вычисляемое:

Re_f = u ´ d_тэн / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 5 м/c

d_тэн - диаметр ТЭНов - их определяющий размер:

d_тэн = 0,006 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re_f = 5 ´ 0,006 / 16,96´10^-6 = 1769,

Следовательно:

Nu = 0,238 ´ 1769^0,6 = 21,15 ,

Откуда:

a_тэн = Nu ´ l / d_тэн ,

где l - коэффициент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_тэн = 21,15 ´ 2,76´10^-2 / 0,006 = 97 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_тэн = 97 ´ 0,0377 = 3,6568 Вт/гр

и

Q_тэн = 3,6568 ´ (Т_тэн - Т_возд).

При этом, излишки энергии ТЭНов идут на изменение их температуры: ,

где dT/dt - скорость изменения температуры ТЭНов;

Р_тэн - мощность ТЭНов.

P_тэн = 2000 Вт

Обоснование выбора такой мощности ТЭНов приведено в разделе 6

Q_тэн - тепловой поток с поверхности ТЭНов;

c_тэн - теплоемкость материала ТЭНов, для ТЭНов изготовленных из кантала А-1:

c_тэн = 470 Дж/(кг´гр);

m_тэн - масса ТЭНов:

m_тэн = r_тэн ´ l_тэн ´ p ´ d_тэн² / 4 ,

где l_тэн = 2 м - длина ТЭНов;

d_тэн = 0,006 м - диаметр ТЭНов,

r_тэн = 7100 кг/м³;

Откуда:

m_тэн = 7100 ´ 2 ´ p ´ (0,006)² / 4 = 0,4 кг,

В связи с тем, что в процессе расстойки необходимо поддерживать заданную температуру, ТЭНы включены только пока температура воздуха в камере расстойного шкафа меньше заданной. Как только температура воздуха превышает заданный предел на величину допустимого отклонения, система управления подает сигнал на отключение ТЭНов. При этом Р_тэн = 0. При падении температуры за нижний предел система управления подает сигнал на включение ТЭНов. При этом Р_тэн = Р_{тэн зад} , где Р_{тэн зад} - номинальная мощность ТЭНов.

Тепловой поток, получаемый тестовыми заготовками

Тепловой поток, получаемый тестовыми заготовками и используемый для их прогрева, может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_теста = К_теста ´ (Т_возд - Т_теста),

где К_теста = a_теста ´ S_теста ,

где S_теста - площадь поверхности тестовых заготовок:

S_теста = 2´10´0,45´0,66 = 6 м²;

a_теста - коэффициент теплоотдачи поверхности тестовых заготовок, расчитывается по экспериментальной критериальной формуле:

Nu = 0,216 ´ Re^0,8,

где Re - число Рейнольдса, вычисляемое по формуле:

Re = u ´ l_тест / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 0,4 м/c

l_тест - определяющий размер тестовых заготовок:

l_тест = 0,25 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re = 0,4 ´ 0,25 / 16,96´10^-6 = 5900,

Следовательно:

Nu = 0,216 ´ 5900^0,8 = 224,46 ,

Откуда:

a_теста = Nu ´ l / l_тест ,

где l - коэффициент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_теста = 224,46 ´ 2,76´10^-2 / 0,25 = 24,8 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_теста = 24,8 ´ 6 = 148,8 Вт/гр

и

Q_теста = 148,8 ´ (Т_возд - Т_теста),

где Т_теста - температура тестовых заготовок, скорость изменения которой, с учетом того, что при расстойке в тестовых заготовках выделяется энергия Q_{теста выд}, составляет:

,

где c_теста - теплоемкость тестовых заготовок:

c_теста = 3000 Дж/(кг´гр)

m_теста - масса тестовых заготовок:

m_теста = n_{тест заг} ´ m_{тест заг} ,

где n_{тест заг} =120 шт. - число тестовых заготовок;

m_{тест заг} = 0,46 кг - масса тестовой заготовки;

Откуда: m_теста = 120 ´ 0,46 = 55,2 кг,

Тепловой поток, получаемый тележками

Аналогично, тепловой поток, получаемый тележками и используемый для их прогрева, также может быть описан формулой конвективного теплообмена:

Q_тел = К_тел ´ (Т_возд - Т_тел),

где К_тел = a_тел ´ S_тел ,

где S_тел - площадь поверхности тележек:

S_тел = 2´2´10´0,45´0,66 + 2´4´4´0,02´1,8 = 7 м²;

a_тел - коэффициент теплоотдачи поверхности тележек, расчитывается по экспериментальной критериальной формуле:

Nu = 0,064 ´ Re^0,8,

где Re - число Рейнольдса, вычисляемое по формуле: Re = u ´ l_тел / n,

где u - скорость потока воздуха:

u = 0,4 м/c

l_тел - определяющий размер тележек:

l_тел = 0,66 м;

n - коэффициент кинематической вязкости, для воздуха при температуре 40°С :

n = 16,96 ´ 10^-6 м²/с.

Таким образом:

Re = 0,4 ´ 0,66 / 16,96´10^-6 = 15566,

Следовательно:

Nu = 0,064 ´ 15566^0,8 = 144,52 ,

Откуда:

a_тел = Nu ´ l / l_тел ,

где l - коэффициент теплопроводности воздуха, при температуре 40°С:

l = 2,76´10^-2 Вт/(м´гр),

Значит:

a_тел = 144,52 ´ 2,76´10^-2 / 0,66 = 6 Вт/(м² ´ гр).

Таким образом:

К_тел = 6 ´ 7 = 42 Вт/гр

и Q_тел = 42 ´ (Т_возд - Т_тел),

где Т_тел - температура тележек, скорость изменения которой:

,

где c_тел - теплоемкость тележек:

c_тел = 500 Дж/(кг´гр);

m_тел - масса тележек:

m_тел = 50 кг.

Потери теплоты через стенки расстойного шкафа

рассчитываются по уравнению теплопередачи:

Q_ст = К_ст ´ (Т_возд - Т_ос),

где Т_ос - температура окружающей среды.

К_ст = k_cт ´ S_ст ,

где S_ст - площадь стенок камеры расстойного шкафа:

S_ст = (1,85´(1,4+0,7)+1,4´0,7)´2 = 9,73 м²;

k_ст - коэффициент теплопередачи через стенки:

,

где d_ст - толщина стали стенок расстойного шкафа:

d_ст = 0,001 м;

d_утепл - толщина утеплителя:

d_утепл = 0,03 м;

l_ст - коэффициент теплопроводности стальных стенок расстойного шкафа:

l_ст = 45 Вт/(м´гр);

l_утепл - коэффициент теплопроводности утеплителя:

l_утепл = 0,1 Вт/(м´гр);

a₁ - общий коэффициент теплоотдачи к внутренней поверхности стенок расстойного шкафа;

a₂ - общий коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности стенок расстойного шкафа.

Общие коэффициенты теплоотдачи методически оцениваются одинаково - как сумма коэффициентов теплоотдачи конвекцией (a_кон) и излучением (a_изл),

a_общ = a_кон + a_изл ,

где первая составляющая:

a_кон = Nu ´ l / h_ст ,

где l - коэффициент теплопроводности воздуха;

h_ст - определяющий размер стенок камеры расстойного шкафа - их высота:

h_ст = 1,85 м;

Nu - коэффициент подобия Нуссельта:

Для омывания газами вертикальных поверхностей:

Nu = 0,15´(Gr_возд´Pr_возд)^1/3,

где Pr - число Прандтля характеризует собой свойства среды;

Gr = b´g´h_ст³´Dt/n² - число Грасгофа,

где g - ускорение свободного падения;

Dt - температурный перепад между средой и омываемой ею поверхностью;

b - функция, связывающая изменение плотности среды с температурой. Для газов можно принять:

b = 1/T;

n - коэффициент кинематической вязкости среды.

вторая составляющая общего коэффициента теплоотдачи:

,

где e_ст - степень черноты стенок:

e_ст = 0,9;

Т_ст - температура стенок, ° С;

d_ст - постоянная Стефана-Больцмана:

d_ст = 5,67 Вт/(м₂´К⁴).

Исходя из того, что температура на внутренней и внешней поверхности стенок расстойного шкафа является неизвестной величиной, принимаем в первом приближении:

a₁ = a₂ = 10 Вт/(м²´гр);

Тогда коэффициент теплопередачи через стенки расстойного шкафа составит:

откуда

Q_ст = 2 ´ ( 40 - 20 ) ´ 9,73 = 390 Вт.

При этих данных температура на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа составит

,

аналогично, на наружной поверхности

,

Во втором приближении:

Для внутренней поверхности стенок:

Pr₁ = 0,699 (при T = 40 ° С)

Учитывая, что при T = 40°С

n_возд = 16,96´10^-6 м²/c ,

получим:

Тогда:

Nu₁=0,15´(Gr₁´Pr₁)^1/3=0,15´(2,7596´10⁹´0,699)^1/3=186,724

Откуда, учитывая, что при T = 40°С

l_возд = 2,756´10^-2 Вт/(м´гр),

получим

a_кон1 = Nu₁´l_возд/h_ст=186,724´2,76´10^-2/1,85 = 2,79 Вт/(м²´гр)

Значение коэффициента теплоотдачи излучением:

Следовательно, общий коэффициент теплоотдачи к внутренней поверхности стенок расстойного шкафа составляет

a₁ = a_кон1 + a_изл1 = 2,79 + 6,14 = 8,93 Вт/(м²´гр).

Аналогично, для внешней поверхности стенок расстойного шкафа:

Pr₁ = 0,703 (при T = 20 ° С)

Учитывая, что при T = 20°С

n_возд = 15,06´10^-6 м²/c ,

получим:

Тогда:

Nu₂=0,15´(Gr₂´Pr₂)^1/3=0,15´(3,7388´10⁹´0,703)^1/3=207

Откуда, учитывая, что при T = 20°С

l_возд = 2,59´10^-2 Вт/(м´гр),

получим

a_кон2 = Nu₂´l_возд/h_ст=207´2,59´10^-2/1,85 = 2,898 Вт/(м²´гр)

Значение коэффициента теплоотдачи излучением:

Следовательно, общий коэффициент теплоотдачи к внутренней поверхности стенок расстойного шкафа составляет

a₁ = a_кон1 + a_изл1 = 2,898 + 5,24 = 8,14 Вт/(м²´гр).

Коэффициент теплопередачи через стенки расстойного шкафа во втором приближении составит:

откуда потери теплоты через стенки расстойного шкафа:

Q_ст = 1,87 ´ ( 40 - 20 ) ´ 9,73 = 363,8 Вт.

При этих данных температура на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа составит

,

аналогично, на наружной поверхности

,

Степень расхождения между первым и вторым приближениями для каждой из этих температур:

d_т’ = 100 ´ ( 36 - 35,8 )/ 36 = 0,6%;

d_т’ = 100 ´ ( 24,6 - 24 )/ 24 = 2,5%.

Это допустимо. В этой связи результаты второго приближения принимаем за окончательные.

Для них выполним проверку на наличие или отсутствие конденсации пара из парогазовой среды на внутренней поверхности стенок камеры расстойного шкафа. Во избежание нежелательной конденсации пара необходимо, чтобы температура на внутренней поверхности стенок Т’_cт превышала температуру точки росы Т_р:

Т’_cт > Т_р.

Для оптимальных (расчетных параметров) расстойки - температуры парогазовой среды 40 °С и относительной влажности 75%, согласно данным таблиц, температура точки росы

Т_р = 34,5°С.

Отсюда следует, что в нашем случае конденсация пара на внутренней поверхности стенок в установившемся режиме работы расстойного шкафа отсутствует.

Окончательная формула потери теплоты через стенки расстойного шкафа, с учетом того что

К_ст = k_cт ´ S_ст = 1,87 ´ 9,73 = 18,2 Вт/гр,

запишется как

Q_ст = 18,2 ´ (Т_возд - Т_ос),

где Т_ос - температура окружающей среды.

Система дифференциальных уравнений

Таким образом, для моделирования работы системы управления расстойным шкафом необходимо решить систему дифференциальных уравнений:

DT = T_зад - T_возд;

;

Q_тэн = 3,6568 ´ (Т_тэн - Т_возд);

dT_тэн/dt = (2000 - Q_тэн)/(470 ´ 0,4);

Q_теста = 148,8 ´ (Т_возд - Т_теста);

dT_теста/dt = (Q_теста + 100)/( 3000 ´ 120);

Q_тел = 42 ´ (Т_возд - Т_тел);

dT_тел/dt = Q_тел / (500 ´ 50);

Q_ст = 18,2 ´ (Т_возд - Т_ос);

Q_возд = Q_тэн - Q_теста - Q_тел - Q_ст ;

dT_возд/dt = Q_возд /(1079´2,22).

Расчет и идентификация процессов протекающих в расстойном шкафу

Для расчета термодинамических процессов происходящих в камере расстойного шкафа при расстойке тестовых заготовок, а также для выбора параметров СУ обеспечивающих заданный режим, была разработана программа для ЭВМ, моделирующая работу системы управления расстойным шкафом. Блок-схема данной программы приведена на чертеже, а текст программы приведен в Приложении 1. По результатом работы программы были построены переходный процесс и фазовый портрет (см. графики). При этом мощность ТЭНов и допуск на отклонение температуры воздуха в камере расстойного шкафа от заданного значения были выбраны исходя из результатов исследований, изложенных в разделе 6. Из графика переходного процесса видно, что, после выхода в установившийся режим, температура циркулирующего в камере расстойного шкафа воздуха поддерживается на заданном уровне, не выходя за пределы заданного допуска, а температура поверхности тестовых заготовок достигает заданной к окончанию времени расстойки. Это говорит о правильности расчетов и верности выбора параметров СУ.

Также была проведена идентификация разработанной модели СУ расстойного шкафа с работающим образцом. Отклонения параметров работы модели от образца оказались небольшими, что указывает на правильный выбор допущений и упрощений, сделанных в процессе разработки данной модели.