06Глава 5 (Полезная книга), страница 2

,

где

, ,

; , ;

, ;

, ;

A=[A₁A₂], A₁ и A₂ - матрицы инциденций узлов соответст венно с неособыми и особыми ветвями;

, Q₂=Q₀₂, Q₀₁, Q₀₂ - постоянные члены линеаризованных компонентных уравнений.

Модифицируемый метод предусматривает предварительную алгебраизацию дифференциальных уравнений на основе формул интегрирования Гира:

, ,

где — коэффициент, зависящий от размера шага интегрирования, а векторы и , кроме того, от значений фазовых координат U и J₂ на P-предшествующих шагах, где Р — порядок метода. Тогда ММС представляется как

,

где =A₁D₁A^t – матрица узловых проводимостей;

= A₂-A₁D₂ – матрица безразмерных коэффициентов; Р₁ =-A₁D₃, Я₃,Я₄ и Р ₂ получаются на основании линеаризации компонентных уравнений:

; ;

P₂ = -F₂(J₂, , U, ) + ( F₂/ J₂)J₂ + ( F₂/ ) + ( F₂/ U)U+( F₂/ ) +( F₂/ ) +( F₂/ ) .

В определении матрицы Якоби участвуют матрицы D₁, D₂ и D₃, которые определяются из выражений

D₁= ; D₂=

D₃=F₁(J₁J₂ U₁ )+ .

Все переменные J_l,J₂, U, , относятся к предыдущему шагу итерации.

Алгоритм формирования матрицы F/ J и вектора J в общем случае включает последовательное обращение к математическим моделям всех компонентов схемы. Рассмотрим действия, которые производятся при обращении к модели k-го компонента, имеющего п выводов и подсоединенного к схеме с узлами j₁ ...j_n .

1. Вычисляются токи выводов компонента по аналитическим зависимостям, связывающим токи выводов и напряжений на выводах компонента.

2. Токи выводов суммируются с соответствующими элементами вектора узловых токов:

.

1. Вычисляются производные на выводах компонента.

2. Вычисленные производные суммируются с соответствующими элементами матрицы полных узловых проводимостей.

В результате реализации модели можно исследовать статические и динамические параметры схемы и определить коэффициенты чувствительности выходных параметров схемы к изменению ее входных параметров.

Метод многополюсных подсхем. Метод основан на разделении сложной схемы (или системы уравнений) на простые подсхемы (подсистемы) с учетом связей между ними.

Решение задачи высокой размерности сводится к последовательному или параллельному решению нескольких подзадач меньшей размерности.

Предполагается, что моделируемая схема разбита на k подсхем путем проведения сечений через схемные узлы. Каждый компонент схемы принадлежит одной подсхеме. Внутренние узлы пронумерованы в следующем порядке: внутренние узлы первой подсхемы {1,2,...,n}, внутренние узлы второй подсхемы { п₁+1, п₁+2,..., п₁+n₂ } и т.д. Узлы межсвязей обозначим {N₁+l, N₁+2, ..., N_l+m}, где

. Под узлами межсвязей подразумевается такие внутренние узлы схемы, которые образованы путем соединения компонентов схемы, принадлежащих разным подсхемам.

При такой нумерации узлов схемы структура матрицы проводи­мостей имеет вид

.

Подматрица J_ii, имеющая размерность (n_i n_i), является матрицей проводимостей i-й подсхемы, соответствующей внутренним узлам. Подматрицы J_i,k+1, J_k+1,i, J_k+1,k+1 размерностями (n_i m), (m n_i), (m ) описывают взаимное соединение подсхем.

Пусть U={U₁U₂…U_k} — вектор потенциалов во внутренних узлах подсхем, V — вектор потенциалов узлов межсвязей.

ММС принимает следующий вид:

C₁(U₁,V) = 0;

C₂(U₂, V) = 0;

…

C_k(U_k,V) = 0;

F(U, V) = 0,

где С_i = {g_{n i +1}+1, g _ni-1+2,…,g _n2} — вектор задающих токов для внутренних узлов i-й подсхемы; F= {f₁,f₂,…f_m} — вектор задающих токов для узлов межсвязей. При этом переменные U₁, U₂,…,U_N являются функциями аргументов , ,…, которые принимаются за независимые переменные:

U_j = U_j( , ,..., ), j=1,2,…N₁.

Вектор задающих токов F представляется рядом Тейлора:

F= ,

Где .

Таким образом, для вычисления необходимо определить матрицы производных , i = 1,2,..., k.

Рассматривая уравнения как неявное задание функции U_i, элементы матрицы можно получить по правилу Крамера из системы линейных уравнений

,

откуда

, i=1,2,…,k.

Вычислительный процесс строится таким образом, что решение системы трансцендентных уравнений высокого порядка, описывающей работу всей схемы, заменяется решением системы более низкого порядка, описывающей соединение подсхем в единую цепь. При этом на каждом шаге итерационного процесса для нахождения якобиана и вектора F₀ необходимо решить k систем нелинейных уравнений соответствующих подсхем.

Метод диакоптики. В этом методе декомпозиция большой схемы на подсхемы производится путем проведения линий сечения через ветви, которые называют ветвями межсвязей. Под узлами межсвязей подразумеваются схемные узлы, к которым подключены ветви межсвязей.

Соотношения между узловыми напряжениями и узловыми токами описываются с помощью матриц проводимостей каждой подсхемы J_i,i; i = 1,2, ,.,,k. Размерность матрицы J_i,i определяется суммарным количеством n_i - внутренних узлов подсхемы и узлов межсвязей, принадлежащих данной подсхеме:

,

где J'_i- — вектор задающих токов i-й подсхемы без учета вектора J"_i токов, обусловленного взаимным соединением подсхем; J_св представляет собой матрицу проводимостей ветвей межсвязей размерностью (с с); С — количество ветвей межсвязей; j_св — токи ветвей межсвязей; V — напряжения на ветвях межсвязей.

Вычислительный процесс по методу диакоптики строится по следующему алгоритму:

x⁰=J₁^-1J’; J”=-Cz₄^-1Cⁱx⁰;

; x⁽¹⁾= ;

x=x⁽⁰⁾+x⁽¹⁾.

В матрице С размерностью N C строки соответствуют схемным узлам, а столбцы — ветвям межсвязей; — обратная матрица.

Диакоптические методы анализа больших интегральных систем (БИС) разделяются на две группы: раздельного итерирования и раздельного интегрирования.

Метод раздельного итерирования основан на использовании различной скорости сходимости итераций при решении нелинейных алгебраических уравнений для отдельных подсхем. Применение метода Ньютона на каждом шаге интегрирования системы приводит к одинаковому числу итераций для всех подсхем, которое определяется по подсхеме с наиболее медленной сходимостью итераций.

Метод раздельного интегрирования основан на различной инерционности отдельных подсхем, когда в одной подсхеме переходные процессы протекают быстро, а в другой — медленно. К методам раздельного интегрирования относятся методы учета латентности, вложенных шагов, однонаправленных реакций, прогнозируемых реакций [18, 19].

2.4. Детерминированные методы расчета элементов и узлов

Статический режим. Целью анализа является исследование статических и переходных режимов ММС, расчет коэффициентов чувствительности динамических и статических параметров, статистический анализ. При этом режимы работы определяются численными методами одновариантного анализа, а чувствительность требует использования многовариантного анализа.

Расчет статического режима ММС заключается в решении нелинейных, в общем случае трансцендентных уравнений, т.е. в определении стационарной точки решения системы

F( ,U,t) (2.21)

при постоянных уровнях возбуждения.

В данном разделе рассматриваются численные методы решения системы (2.21), которые позволяют получить приближенное решение , такое что .где — заданная точность расчета.

Существуют два основных подхода к расчету статического режима.

Первый подход основан на представлении статического режима как предельного, к которому стремятся переходные процессы в схеме при . При этом используются методы интегрирования системы дифференциальных уравнений (2.21) при постоянных уров­нях входных сигналов в течение модельного времени T₀, достаточного для затухания переходных процессов.

Второй подход основан на итерационных методах решения нелинейных уравнений. Наиболее распространенными итерационными методами решения нелинейных уравнений являются методы Ньютона, Бройдена, изменения параметров [17].

Итерационная формула Ньютона-Рафсона

, здесь - матрица Якоби.

Итерационная формула Бройдена

, , где - скалярный коэффициент.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяются методы Гаусса, Краута, LU - разложения [18, 19].

Переходные процессы. Для оценки быстродействия схем необходимо проводить анализ переходных процессов. Анализ переходных процессов заключается в численном интегрировании системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих физические процессы, протекающие в схемах.

Формулы численного решения ОДУ представляют собой аппроксимирующие выражения, связывающие и U. Формула называется явной, если

,