06Глава 5 (Полезная книга)

2.3. Методы и средства функционального синтеза

Математические модели электронных схем. Анализ электронных схем на ЭВМ осуществляется с помощью математической модели, т.е. системы уравнений, описывающей работу исследуемой схемы. Математическая модель схемы (ММС) состоит из компонентных (макромодельных) и топологических уравнений. Компонентные уравнения — уравнения элементов или макромоделей. Топологические уравнения — уравнения связи элементов в узле или устройстве.

Переменные, характеризующие состояние элементов, принято называть фазовыми переменными. Обозначим: V — вектор фазовых переменных; E - подвектор, образованный фазовыми переменными вектора V, производные которых фигурируют в компонентных уравнениях. Для электронных схем V — вектор токов и напряжений всех ветвей схемы, E — индуктивные токи и емкостные напряжения.

При формировании ММС задается перечень элементов системы и имеется библиотека элементов или макромоделей, т.е. подсистема компонентных уравнений F(z,V,t)=0. После дискретизации уравнение будет иметь вид

F_k(z_k, V_k, t_k)=0, ^(2.1)

где z_k=z(th), V_k=V(th), t_k — значение независимой переменной t для k-го шага интегрирования. Выполнив разложение (2.1) в ряд Тейлора в окрестностях точки (z_ki, V_ki), являющейся i-м приближением к корню этой системы, и сохранив в разложении только линейные члены, получим

А_kiz_k,i+1 + B_kiV_k,i+1 = Q_ki, (2.2)

где A_ki = F_k/ z_k , B_ki = F_k/ V_k и вектор правых частей Q_ki определены в точках (z_ki, V_ki), a (z_k,i+1, V_k,i+1) — точки (i+1)-гo приближения к корню.

Так как заданы межэлементные связи, то известна подсистема топологических уравнений

DV_k,i+1 =0 (2.3)

где D — топологическая матрица.

Для полноты системы математической модели используется подсистема, выражающая формулу численного интегрирования:

F(z_k,i+1,V_k,i+1)=0. (2.4)

Для большинства методов подсистема (2.4) линейна:

,

и задача формирования ММС конкретизируется как задача формирования матриц , H_k, D, А_ki, B_ki и векторов и Q_ki.

Общая система уравнения ММС:

Подсистема линейных алгебраических уравнений (2.3) выражает законы Кирхгофа для токов и напряжений для выбранной совокупности независимых контуров и сечений в графе схемы замещения (эквивалентной схемы). Выбор совокупности эквивалентен выбору фундаментального дерева в графе схемы. Фундаментальным деревом связного графа называется суграф, в котором отсутствуют циклы. Для связного графа с а вершинами фундаментальное дерево состоит из ребра. Нордами называются ребра, не вошедшие в фундаментальное дерево.

Система уравнений для первого закона Кирхгофа:

J_р + МJ_х = 0, (2.5)

Где J_p и J_x – векторы токов соответственно ребер и хорд фундаментального дерева; М — топологическая матрица контуров и сечений.

Система уравнений для второго закона Кирхгофа:

U_x – M^TU_p = 0 (2.6)

где U_X и U_p — векторы напряжений соответственно хорд и ребер фундаментального дерева; М^т — транспонированная матрица М.

Следовательно, подсистема уравнений (2.3) с матрицей коэффициентов D принимает вид

Операции выбора фундаментального дерева и формирования матрицы М формализованы.

В настоящее время для формирования системы уравнений применяются методы переменных состояния, метод узловых потенциалов, обобщенный метод и т.п. [16],

Метод переменных состояния (МПС). В методе переменных состояния в качестве переменных используются напряжения на емкостях и токи через индуктивности (переменные состояния). Метод основан на получении ММС в форме, удобной для применения явных методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В МПС исходными являются уравнения:

J_P + MJ_X = 0;

U_X - MU_P = 0;

F_K(z_K,V_K,t_K) = 0;

где матрица М формируется на основе нормального дерева в графе схемы. Нормальным деревом графа схемы называется дерево, которое содержит все источники напряжения, максимально возможное число конденсаторов и резисторов, минимально возможное число индуктивностей.

В этом случае М-матрица имеет следующую структуру:

Здесь С, S — матрицы конденсаторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; R, — матрицы резисторов, попавших в дерево и хорды графа соответственно; Г, L — матрицы индуктивностей, попавших в дерево и хорды графа соответственно. Зависимые и независимые источники напряжения Е, J_E и источники тока J, U_J.

Тип ветви определяется видом соответствующего ей компонен­тного уравнения. В МПС предполагается, что компонентные уравнения резистивных ветвей связывают J_R и U_R, емкостных Ветвей U_s и J_s либо U_c и J_c, индуктивных ветвей J_L и U_L либо J_Г и U_Г; при этом в уравнениях связи могут фигурировать переменные состояния, к которым относятся U_c и J_L. Источники напряжений Е и тока J могут быть независимыми или зависимыми только от переменных состояния и времени, т.е. компонентные уравнения имеют вид:

F_R(U_R,J_R,U_C,J_L) = 0; (2.8)

F_r(U_r,J_r,U_C,J_L) = 0; (2.9)

F_S( ,J_S,U_C J_L) = 0; (2.10)

F_C( ,J_C,U_C J_L) = 0; (2.11)

F_L( ,U_L,U_C J_L) = 0 (2.12)

F_r( ,U_r,U_C J_L) = 0; (2.13)

F_E(U_E,U_c,J_L,t) = 0; (2.14)

F_j(J_j,U_C,J_L,t) = 0. (2.15)

Математическая модель схемы ММС состоит из трех подсистем алгебраических уравнений и формул явного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Первая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.8), (2.9) и топологических уравнений, характеризующих резисторы:

Вторая подсистема формируется из линеаризованных уравнений (2.11) и топологических уравнений, относящихся к матрице конденсаторов:

* =

По аналогии формируется третья подсистема из линеаризован­ных уравнений (2.12), (2.13) и топологических уравнений, относящихся к индуктивностям:

* =

Здесь Q_r, Q_R, Q_s, Q_c, Q_L, Q_r— правые части линеаризован­ных компонентных уравнений, зависящие от переменных состояния:

Q_r = -F_r(U_r,J_r,U_c,J_L).+ ( F_r/ J_r)J'_r+( F_r/ U_r)U'_r;

Q_R = -F_R(U'_R,J'_R,U_C,J_L) + ( F_R/ J_R)J'_R + ( F_R/ U_R)U'_R;

Q_S = - F_S(U'_SJ'_S,U_C,J_L) + ( F_S/ J_S)U'_S + ( F_S/ J_S)J'_S

и т.д., где обозначение переменной со штрихом относит ее к пред­ыдущей итерации вычислительного процесса,

Таким образом, на очередном шаге численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) явными методами выполняются следующие вычисления:

по известным от предыдущего шага значениям U _c, J_L и известному значению t вычисляются значения U_E, J_J путем решения

компонентных уравнений (2.14) и (2.15) и значения их производных по времени;

вычисляются правые части и коэффициенты системы уравнений (2.16). ..(2.18);

вычисляются векторы J _R и U _г по (2.16);

вычисляются векторы и по (2.17);

применяется одна из явных формул интегрирования, позволя­ющая по ()U _с и ()J _L вычислить значения и для нового шага интегрирования.

Метод позволяет использовать неявные методы интегрирования ОДУ. Рассмотренный метод переменных состояния отличается высокой наглядностью, так как позволяет получить конечную форму ма­тематической модели схемы в виде дифференциального уравнения.

Пример. Построить ММС для схемы рис. 2.20, а , граф-схе­ма которой приведен на рис. 2.20, б с помощью МПС в случае ис­пользования явных методов интегрирования.

Рис. 2.20. Принципиальная (а) и граф-схема (б) устройства

Для рассматриваемого примера матрица М имеет вид

M =

Математическая модель схемы представляется следующими тремя системами уравнений:

Реализация построенной ММС позволяет подобрать все значения компонентов схемы и провести оптимизацию исследуемой схемы.

Метод узловых потенциалов. В данном методе в качестве независимых переменных используются напряжения во внутренних узлах схемы относительно некоторого опорного узла, потенциал которого принимается равным нулю. Внутренним узлом называется узел, который не связан непосредственно с источником напряжения.

В основе метода лежит первый закон Кирхгофа. В методе узловых потенциалов (МУП) различают классический и модифицированный варианты. В классическом варианте вектор определенных переменных составляют узловые потенциалы, топологические уравнения которых представлены в виде

AJ-0, U + A^t = 0, (2.19)

где J — вектор токов ветвей; — вектор узловых потенциалов; А — матрица.

Для получения ММС используется процедура линеаризации и исключения небазисных координат. В результате ММС принимает

вид

Я V= Q, (2.20)

где Я — матрица узловых проводимостей, Q — вектор правых частей, V— вектор базисных координат.

Порядок системы равен - 1, где — количество узлов в схеме. Однако классический метод имеет ряд ограничений, в частности в нем недопустимы идеальные источники напряжения, индуктивности и т.п., поэтому в настоящее время используется модифицированный вариант МУП.

В этом методе ветви разделяются на особые и неособые. Особые ветви — ветви из идеальных источников напряжения, индуктивностей и ветви, токи которых являются управляющими у каких-либо других ветвей; все остальные ветви — неособые.

Вектор базисных координат состоит из вектора узловых потенциалов и вектора J ₂ токов особых ветвей. Исходными являются уравнения (2.1) и (2.19), а также компонентные уравнения неособых ветвей

F₁( , J₂, , U₁, )=0

и особых ветвей

F₂(J₂, , U₁, )=0,

где — вектор токов неособых ветвей.

После линеаризации компонентных уравнений выполняется процедура исключения небазисных координат, в результате чего получается ММС