135481 (Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем)

Курсовая работа:

«Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем»

Постановка задачи:

1. Для объекта управления с математическим описанием

, (1) - задано,

где - n-мерный вектор состояния, ,

- начальный вектор состояния,

- скалярное управление,

- матрица действительных коэффициентов,

- матрица действительных коэффициентов,

найти управление в функции переменных состояния объекта, т.е.

, (2)

где - матрица обратной связи, такое, чтобы замкнутая система была устойчивой.

2. Корни характеристического уравнения замкнутой системы

(3)

должны выбираться по усмотрению (произвольно) с условием устойчивости системы (3).

Задание:

1. Разработать алгоритм решения поставленной задачи.

2. Разработать программу решения поставленной задачи с интерактивным экранным интерфейсом в системах Borland Pascal, Turbo Vision, Delphi - по выбору.

3. Разработать программу решения систем дифференциальных уравнений (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

4. Разработать программу графического построения решений систем (1) и (3) с интерактивным экранным интерфейсом.

Введение

Наряду с общими методами синтеза оптимальных законов управления для стационарных объектов всё большее примене­ние находят методы, основанные на решении задачи о размеще­нии корней характеристического уравнения замкнутой системы в желаемое положение. Этого можно добиться надлежащим выбором матрицы обратной связи по состоянию. Решение ука­занной задачи является предметом теории модального управ­ления (термин связан с тем, что корням характеристического уравнения соответствуют составляющие свободного движения, называемые модами).

Алгоритм модального управления.

Соглашения:

• Задаваемый объект управления математически описывается уравнением

  , (1)

  где и - матрицы действительных коэффициентов,

  - n-мерный вектор состояния

  - скалярное управление,

  - порядок системы (1).

• Обратная связь по состоянию имеет вид

  , (2)

  где - матрица обратной связи.

• Система с введенной обратной связью описывается уравнением

  (3)

• Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

  (4)

• Характеристическое уравнение системы (3) с задаваемыми (желаемыми) корнями имеет вид

  (5)

  Алгоритм:

  1. Для исходной системы (1) составляем матрицу управляемости

  2. Обращаем матрицу , т.е. вычисляем .

  Если не существует (т.е. матрица - вырожденная), то прекращаем вычисления: полное управление корнями характеристического уравнения (5) не возможно.

  3. Вычисляем матрицу

  4. Составляем матрицу

  5. Вычисляем матрицу, обратную матрице , т.е.

  6. Вычисляем матрицу - матрицу в канонической форме фазовой переменной:

  где - коэффициенты характеристического уравнения (4).

  Матрица в канонической форме имеет вид

  7. Составляем вектор , элементам которого являются коэффициенты характеристического уравнения (4), т.е. , ,

  где - элементы матрицы .

  8. Находим коэффициенты характеристического уравнения (5) (см. пояснения) и составляем из них вектор .

  9. Вычисляем вектор .

  - искомая матрица обратной связи системы (3), но она вычислена для системы, матрицы которой заданы в канонической форме фазовой переменной ( и ).

  10. Для исходной системы (3) матрица обратной связи получается по формуле

  Матрица - искомая матрица обратной связи.

  Пояснения к алгоритму:

  В данной работе рассматривается случай, когда управление единственно и информация о переменных состояния полная. Задача модального управления тогда наиболее просто решается, если уравнения объекта заданы в канонической форме фазовой переменной.

  Так как управление выбрано в виде линейной функции переменных состояния , где является матрицей строкой . В таком случае уравнение замкнутой системы приобретает вид . Здесь

  Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет следующим

  Поскольку каждый коэффициент матрицы обратной связи входит только в один коэффициент характеристического уравнения, то очевидно, что выбором коэффициентов можно получить любые коэффициенты характеристического уравнения, а значит и любое расположение корней.

  Если же желаемое характеристическое уравнение имеет вид

  ,

  то коэффициенты матрицы обратной связи вычисляются с помощью соотношений:

  Если при наличии одного управления нормальные уравнения объекта заданы не в канонической форме (что наиболее вероятно), то, в соответствии с пунктами №1-6 алгоритма, от исходной формы с помощью преобразования или нужно перейти к уравнению в указанной канонической форме.

  Управление возможно, если выполняется условие полной управляемости (ранг матрицы управляемости M должен быть равен n). В алгоритме об управляемости системы судится по существованию матрицы : если она существует, то ранг матрицы равен ее порядку (n). Для объекта управления с единственным управлением матрица оказывается также единственной.

  Для нахождения коэффициентов характеристического уравнения (5), в работе используется соотношения между корнями и коэффициентами линейного алгебраического уравнения степени n:

  , (k = 1, 2, ... , n)

  где многочлены - элементарные симметрические функции, определяемые следующим образом:

  ,

  ,

  ,

  ...

  где S_k - сумма всех произведений, каждое из которых содержит k сомножителей x_j с несовпадающими коэффициентами.

  Программная реализация алгоритма.

  Текст программной реализации приведен в ПРИЛОЖЕНИИ №1. Вот несколько кратких пояснений.

• Программа написана на языке Object Pascal при помощи средств Delphi 2.0, и состоит из следующих основных файлов:

  KursovayaWork.dpr

  MainUnit.pas

  SubUnit.pas

  Matrix.pas

  Operates.pas

  HelpUnit.pas

  OptsUnit.pas

• KursovayaWork.dpr - файл проекта, содержащий ссылки на все формы проекта и инициализирующий приложение.

• В модуле MainUnit.pas находится описание главной формы приложения, а также сконцентрированы процедуры и функции, поддерживаюшие нужный интерфейс программы.

• Модули SubUnit.pas и Operates.pas содержат процедуры и функции, составляющие смысловую часть программной реализации алгоритма, т.е. процедуры решения задачи модально управления, процедуры решения систем дифференциальных уравнений, процедуры отображения графиков решений систем и т.д. Там также находятся процедуры отображения результатов расчетов на экран.

• В модуле Matrix.pas расположено описание класса TMatrix - основа матричных данных в программе.

• Модули HelpUnit.pas и OptsUnit.pas носят в программе вспомогательный характер.

• Для решения систем дифференциальных уравнений использован метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с фиксированным шагом. Метод был позаимствован из пакета программ NumToolBox и адаптирован под новую модель матричных данных.

• Обращение матриц производится методом исключения по главным диагональным элементам (метод Гаусса). Этот метод так же был позаимствован из NumToolBox и соответствующе адаптирован.

Пориложение.

program KursovayaWork;

uses

Forms,

MainUnit in 'MainUnit.pas' {Form_Main},

OptsUnit in 'OptsUnit.pas' {Form_Options},

SubUnit in 'SubUnit.pas',

Matrix in 'Matrix.pas',

Operates in 'Operates.pas',

HelpUnit in 'HelpUnit.pas' {Form_Help};

{$R *.RES}

begin

Application.Initialize;

Application.Title := 'Модальное управление';

Application.CreateForm(TForm_Main, Form_Main);

Application.CreateForm(TForm_Options, Form_Options);

Application.CreateForm(TForm_Help, Form_Help);

Application.Run;

end.

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,

ComCtrls, Tabnotbk, Menus, StdCtrls, Spin, ExtCtrls, Buttons, Grids,

OleCtrls, VCFImprs, GraphSvr, ChartFX {, ChartFX3};

type

TForm_Main = class(TForm)

BevelMain: TBevel;

TabbedNotebook_Main: TTabbedNotebook;

SpinEdit_Dim: TSpinEdit;

BitBtn_Close: TBitBtn;

BitBtn_Compute: TBitBtn;

StringGrid_Ap0: TStringGrid;

StringGrid_Anp0: TStringGrid;

StringGrid_Roots: TStringGrid;

StringGrid_Kpp0: TStringGrid;

StringGrid_Bp0: TStringGrid;

RadioGroup_RootsType: TRadioGroup;

Label_A1p0: TLabel;

Label_Ap0: TLabel;

Label_mBp0: TLabel;

Label_Roots: TLabel;

Label_Kpp0: TLabel;

BevelLine: TBevel;

Label_Dim: TLabel;

StringGrid_Ap1: TStringGrid;

StringGrid_Bp1: TStringGrid;

Label_Ap1: TLabel;

Label_Bp1: TLabel;

StringGrid_Kpp1: TStringGrid;

Label_Kpp1: TLabel;

StringGrid_InCond: TStringGrid;

Label_InCond: TLabel;

Label_U: TLabel;

Edit_U: TEdit;

BitBtn_Options: TBitBtn;

BitBtn_Help: TBitBtn;

StringGrid_ABKpp1: TStringGrid;

Label_ABKpp1: TLabel;

Edit_W: TEdit;

Label_w: TLabel;