Эколаб12 (Лабы и инфа какая-то)

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Кафедра № 301

ДИНАМИКА ИЗОЛИРОВАННОЙ ПОПУЛЯЦИИ

Лабораторная работа № 2 по курсу «Экология»

для студентов 1 курса факультета №3

(ЭКОЛАБ12)

Составитель - проф., д.т.н. С.И.Рыбников

Утверждено на заседании кафедры №301

«_____»_______________2004 г.

МОСКВА, 2004

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сказка – ложь, да в ней – намек…Математическое моделирование – та же ложь с намеком, только численная… Действие работы Ecolab12 происходит в островной стране Isolated Populations Land (Земле Изолированных Популяций). Населен Isopopland членами единственной живущей на нем популяции – попчиками (popchicks).

Для удобства моделирования в Isopopland’е царят унитарные нравы. Население и трофические (пищевые) и иные ресурсы равномерно распределены по каждому острову («Весь покрытый зеленью, абсолютно весь..» - из гимна IPL), образующиеся семейные пары устойчивы («Только раз бывает в жизни встреча..» - из Конституции IPL), глобусом Изопопленда считается бильярдный шар и т.д.

Состоит Isopopland из хорошо изолированных островов, различающихся номерами, равными среднему числу детей у сложившихся семейных пар островитян. Ясно, что на островах Land№1, Land№1,3 и тем более Land№0,6 попчики живут нескудно, но и не очень весело, постепенно вымирая. За разговорами о счастливой жизни будущих поколений попчиков они как-то забывают произвести их на свет. Между тем, живущие повеселее, хотя и поскудне, попчики с островов Land№4,5, Land№5,(3) и соседних с ними уже подметили, что для того, чтобы попчики жили хорошо, для начала нужно, чтобы они жили. Эмпирически они предвосхитили научные выводы студентов по одному из разделов лабораторки.

В нескольких цивилизациях-экспериментах попчики ведут вполне пристойное существование, развиваясь десятками поколений, доставляя пищу для немудреного студенческого анализа. Но в одной из таких цивилизаций (явно нецивилизованной) введены коэффициенты наркотичности популяции, равные 0,1 и даже 0,2. И оказалось, что за время жизни нескольких поколений попчиков такой уровень наркотичности убивает от половины до 2/3 популяции. Стало ясно, что при любых мыслимых других условиях существования наркопопчики – практически бионегативные мутанты, жизненной перспективы у них нет.

Любой желающий (активно желающий) попч…, я хотел сказать – студент, – может сконструировать собственную виртуальную популяцию или даже цивилизацию в виде набора правил ее существования, уравнений и программ ее функционирования. Конкуренты поощряются.

С.Р.

1. Введение. Назначение лабораторной работы, основные решаемые задачи

Работа предназначена для первоначального ознакомления студентов с одной из основных задач математической экологии, а также с частными методами исследования динамических систем, применяемыми в экологии. Она посвящена исследованию процессов роста и затухания хорошо перемешанной изолированной популяции живых существ. Динамика популяции математически описывается нелинейным дифференциальным уравнением c эмпирически подобранными коэффициентами. Для его исследования применяются методы фазовой плоскости, численного интегрирования и функций чувствительности.

Рассматривается математическая модель и элементы динамики изолированной популяции, при условиях пространственной однородности, то-есть равномерного распределения по ареалу обитания, как самой популяции и всех ее характеристик (соотношения численности перекрывающихся во времени поколений и проч.), так и ее трофического (пищевого) ресурса.

Пусть площадь ареала обитания популяции – S, численность популяции – n, величина численности, принимаемая за базовую, например, начальная на момент начала анализа, - n₀. Примем в качестве характеристики численности популяции ее нормированную или относительную плотность в ареале, равную нормированной или относительной численности популяции, N=(n/S)/(n₀ /S)=n/n_0.

Динамика популяции во времени t, измеряемом средним временем смены поколений, определяется ее законом роста dN/dt=F(N) и описывается дифференциальным уравнением вида:

dN/dt = (B(N) – D(N))*N.

Здесь B(N) и D(N) – соответственно, функции рождаемости и смертности, их разность B(N) – D(N) = M(N) –иногда называют мальтузианской функцией.

Для анализа динамики популяции задается вид функций рождаемости и смертности в форме их зависимостей от относительной плотности популяции в ареале и учитываемых параметров популяции и условий ее существования.

Придав функциям рождаемости и смертности в популяции, а также условиям ее существования «человеческие» параметры, исполнители работы выясняют характер совместного и раздельного влияния параметров условий существования на характеристики роста и(ли) затухания популяции. В качестве этих параметров рассматривается среднее число детей в сложившихся семьях, уровень зараженности популяции практически неизлечимыми социальными болезнями

(коэффициент наркотичности), качество жизни и др.

Анализ динамики популяции выполняется поэтапно. На первом этапе анализируется вид функций рождаемости B(N), смертности D(N), мальтузианской функции M(N), а также фазовый портрет динамики, который строится в координатах (N,Nprime=dN/dt). Рассматриваемая здесь популяция при определенных ее параметрах имеет участки роста и затухания численности, а также увеличения и снижения темпа роста, разграниченные характерными точками – критическим порогом относительной плотности, относительной плотностью, при которой достигается максимальный темп роста, относительной емкостью ареала. На втором этапе работы анализируются переходные процессы в популяции N(t) при ненулевых начальных условиях, рассматривается уровень, к которому стремится относительная плотность популяции и темп процесса. На третьем этапе работы углубленно анализируется важнейшее параметрическое влияние уровня наркотичности популяции на характер процессов в ней. На четвертом этапе работы оценивается чувствительность динамических характеристик популяции по отношению к ее параметрам.

Работа выполняется в среде МАТЛАБ, при этом используются знания и навыки, приобретенные при выполнении лабораторной работы №1. Используются приведенные в приложениях программы.

Отчет о лабораторной работе должен включать в себя основные полученные исполнителями графики, таблицы, в которые удобно свести численные результаты, комментарии к ним, выводы по всем выполненным исследованиям.

2. Рабочие уравнения динамики популяции.

В программах моделирования динамики популяции EL12maltus, EL12maltode, EL12grow, EL12narcborder, приведенных в приложении, используются следующие конкретные формы уравнений этой динамики.

Функции рождаемости и смертности:

Birth=.125.*NChild.*(1 - exp(-1 .*Commun.*N)).*exp(-7.6.*Narc.*N).*QLife; (1)

Death=.125.*(1+N.^Contest).*(2-1.*exp(-2 .*Narc.*N))./QLife; (2)

Мальтузианская функция:

Increment=Birth-Death; (3)

Производная от относительной численности или плотности популяции в ареале:

Nprime=Increment.*N; (4)

Параметрами уравнений принимаются следующие среднестатистические для популяции коэффициенты, выбором численных значений которых популяции придается «человеческое лицо»:

NChild – среднее количество детей у сложившейся брачной пары – основной параметр популяции, предопределяющий ее рост или затухание; за стандартное значение принимается 3, варьируется от 1 до 5, в отдельных, гиперболизированных, задачах – до 10 или даже до 15;

Narc - коэффициент наркотичности популяции, практически предопределяющий почти полное затухание ее части; за стандартное значение принимается 0.001, варьируется от 0.0001 до уровней 0.05-0.1 или даже до 0.2, предопределяющих затухание популяции при любых мыслимых значениях предыдущего параметра;

Commun – коэффициент коммуникабельности, для биологических объектов приближенно описывающий соотношение между среднеквадратическими значениями радиусов индивидуальной активности члена популяции и приходящегося на него субареала обитания, принимается >1, стандартное значение - 1.3;

QLife – коэффициент качества жизни, при детальном рассмотрении являющийся функцией естественных и искусственных ресурсов, приходящихся на одного члена популяции, и к.п.д. их использования на его благо; за стандартное значение принимается 1, варьируется от 0.5 до 1.5;

Contest – коэффициент, описывающий средний уровень конкуренции членов популяции в получении жизненных ресурсов при базовом значении численности популяции; за стандартное значение принимается 1.1, варьируется в диапазоне - от 1 до 2.

Уравнения (1) и (2) позволяют рассчитать и отобразить графически зависимость рождаемости и смертности в популяции от ее относительной численности, подключение уравнения (3) позволяет определить мальтузианскую функцию. Интегрирование уравнения (4) со связями, представленными предыдущими уравнениями, дает относительную численность популяции во времени ее роста или затухания.

3.Исследование функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции, фазового портрета популяции

Исследование выполняется методом математического моделирования динамики популяции на основе приведенных выше уравнений.

Моделирование выполняется с помощью программ, приведенных в приложении. В учебной лаборатории программы стоят в субдиректории worc пакета программ МАТЛАБ 6.1. Для работы на домашнем компьютере откопируйте программы в отдельные файлы, поместив их в субдиректорию worc указанной или иной, лучше одной из последующих версий МАТЛАБА. Поскольку система команд всех версий пакета в основном едина, программы легко адаптировать к любой версии, начиная с 3.1.

Работа пользователя ограничивается вводом нужных значений указанных выше параметров, вызовом программ и выходом из режима пользования ими.

Другие изменения в программах в ходе выполнения лабораторных работ не разрешаются. Перед работой создайте резервные копии программ, зафиксируйте начальные значения параметров, которые вы должны будете снова ввести в конце работы. Для хранения своих результатов в лаборатории создайте свой файл или даже субдиректорию по адресу D:\students\(курс)\(группа). Хотя расчеты выполняются в МАТЛАБЕ, оформление отчета о работе удобнее выполнять в текстовом редакторе WORD.

В начале каждого раздела работы освойте работу с программами.

Программа EL12Maltus предназначена для расчета и отображения функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции, скорости изменения относительной численности популяции при заданных значениях параметров популяции, на заданном промежутке значений ее относительной численности, при заданном шаге вычислений.

Войдите в среду МАТЛАБ и с помощью меню «Файл» откройте программу.

Рассмотрите ее состав, использование команд. В приводимых ниже строках ввода данных установлены промежуток и шаг расчетов, параметры популяции. Вы можете согласиться с введенными данными или изменить их по своему усмотрению. Остальные строки программы в лаборатории изменять не разрешается, дома тоже лучше воздержаться от этого.

N=0:.1:5;

NChild=3; % стандарт - 3, варьируйте от 1 до 5;

Narc=.001; % стандарт - .001, варьируйте до .05-.1;

Commun=1.5; % >1, стандарт - 1.5;

QLife=1; % стандарт - 1, диапазон - от 0.5 до 1.5;

Contest=1.1; % стандарт - 1.1, диапазон - от 1 до 2.

Сохраните программу. В рабочем окне МАТЛАБа наберите ее название – EL12Maltus - получите графики функций рождаемости, смертности, мальтузианской функции (фиг.1). После повторного нажатия на клавишу «Ввод» получите график скорости изменения относительной численности популяции в функции этой численности при заданных значениях параметров, то-есть фазовый портрет популяции (фиг.2).

Фиг.1. Функции рождаемости, смертности мальтузианская функция.

Фиг.2. Фазовый портрет популяции.

Оценим динамику популяции с помощью этих графиков. Первой характеристикой этой динамики является факт наличия или отсутствия промежутка

значений численности N, в котором N’>0, то-есть популяция развивается. При отсутствии такого промежутка популяция затухает, темп затухания будет лучше виден впоследствии на временном графике. Но будем рассматривать в основном оптимистичные сценарии. При наличии промежутка развития в качестве характеристик области и темпа развития используем следующие параметры фазового портрета (см. фиг.2): N(пор) – пороговое значение относительной численности популяции, превышение которого ведет к росту популяции, а недостижение которого – к ее затуханию; N’(m) – максимальный темп роста популяции, N(m) – относительная численность, при которой этот экстремум достигается, N(ар) – емкость ареала обитания популяции, относительная численность популяции, при достижении которой меняется знак производной N’. Рассмотрим вопрос об устойчивости стационарных точек фазовой плоскости с координатами (N(пор),0) и (N(ар),0).