Эколаб11 (Лабы и инфа какая-то), страница 2

Пока мы имели дело с двумерными графиками. Теперь построим трехмерную спираль, используя команду построения трехмерных графиков plot3.

>>x=-pi:.01*pi:2*pi;

>>y=sin(x);

>>z=cos(x);

>>plot3(x,y,z),grid

Многие другие графические средства, одно- и многооконные, двумерные и трехмерные вы можете освоить с помощью графического раздела справочного аппарата системы.

Введенные значения аргумента x и функций от него составляют матрицы-строки, арифметические операции над такими матрицами выполняются поэлементно, что возможно лишь при одинаковой длине матриц, и отмечаются точкой перед символом операции.

5. Выполнение операций математического анализа с использованием пакета символьной математики

На примерах рассмотрим технику использования пакета символьной математики для дифференцирования, интегрирования функций одной переменной, для решения алгебраических уравнений и интегрирования дифференциальных уравнений.

Для обращения к пакету указывается принадлежность переменных к символьным записью вида x=sym(‘x’); y=sym(‘y’) или syms x y или выделением выражений апострофами.

Определение n-ной производной по x от выражения F(x) выполняется по команде формата diff(‘F(x)’,’x’,n) или diff(F(x),x,n), если ранее указано, что x – символьная переменная, указывается лишь n>1. Примеры:

>> diff('exp(x)*cos(x)','x',2)

ans =

-2*exp(x)*sin(x)

>> syms x a

>> diff(sin(a*x)/x,x)

ans =

cos(a*x)*a/x-sin(a*x)/x^2

Команда на вычисление неопределенного интеграла –int('F(x)’,'x'), команда на вычисление определенного интеграла содержит, кроме того, пределы интегрирования:

>> int('exp(x)*cos(x)','x')

ans =

1/2*exp(x)*cos(x)+1/2*exp(x)*sin(x)

>> int('exp(x)*cos(x)','x',0,2)

ans =

1/2*exp(2)*cos(2)+1/2*exp(2)*sin(2)-1/2

>> int('exp(x)*cos(x)','x',0,pi*3/2)

ans =

-1/2*exp(3/2*pi)-1/2

Вычисления можно довести до приближенного ответа:

>> -1/2*exp(3/2*pi)-1/2

ans =

-56.1589

Вычисление кратных интегралов выполняется по схеме «интеграл от интеграла от интеграла…». Алгебраические выражения, в том числе получаемые при интегрировании, можно упрощать, правда, во многих случаях слабее, чем это делают абитуриенты МАИ, командой формата simple(F(x)). Например, выполнение команды simple(1/2*exp(x)*cos(x)+1/2*exp(x)*sin(x)) состояло в переборе многих вариантов и привело к скромному результату ans =1/2*exp(x)*(cos(x)+sin(x))

Решение алгебраических уравнений вида F(x)=0 выполняется по команде формата solve(‘F(x)’)

>> solve('x^2-2')

ans =

[ 2^(1/2)]

[ -2^(1/2)]

Ответ простой, обозримый. Но вот другой случай:

>> solve('x^3-2*x^2+x-5')

ans =

[ 1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3]

[ -1/12*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-1/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3))]

[ -1/12*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-1/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3))]

Полученные точные значения корней вычисляются приближенно после перемещения их мышкой к курсору:

>> [ 1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3]

ans =

2.4334

>> [ -1/12*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-1/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3))]

ans =

-0.2167 + 1.4170i

>> [ -1/12*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-1/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3)+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(532+12*1965^(1/2))^(1/3)-2/3/(532+12*1965^(1/2))^(1/3))]

ans =

-0.2167 - 1.4170i

Аналогично решаются системы алгебраических уравнений. Например, система уравнений P(x,y,z)=0, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=0 решается по команде формата:

[x,y,z]=solve(‘P(x,y,z)’, ‘Q(x,y,z)’, ‘R(x,y,z)’,’x’,’y’,’z’). В качестве упражнения введите команду >> [x,y,z]=solve('x^2+y^3+z^4-10','x+2*y-3','z-5*x+4','x','y','z') а затем полученные точные решения системы уравнений пересчитайте в приближенные, но обозримые.

Интегрирование дифференциальных уравнений и их систем выполняется функцией dsolve. Проинтегрируем некоторые простейшие дифференциальные уравнения. Здесь аргумент –t, dx/dt=Dx, в случае отсутствия начальных условий решение получается в общем виде, с неопределенными множителями, при указании достаточного количества начальных условий решение получается численным и при желании исполнителя может быть отображено графически.

>> dsolve('Dx=-x')

ans =

C1*exp(-t)

>> dsolve('Dx=-x','x(0)=1')

ans =

exp(-t)

>> dsolve('Dx=-x^2','x(0)=1')

ans =

1/(t+1)

>> t=0:.05:10;

>> plot(t,exp(-t),t,1./(t+1)),grid

6. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кута

Такое интегрирование традиционно для МАТЛАБА, оно требует сначала создать файл-функцию, содержащий правую часть дифференциального уравнения, записанного в нормальной форме и начинающийся со слова function, затем файл-сценарий с указанием подынтегральной функции, интервала интегрирования и начальных условий. Кратко обозначив используемые здесь файлы как студенческие функцию и интеграл, приведем их, команду на интегрирование и результат его:

%studf

function xprime=studf(t,x);

xprime=-1.5*x;

%studint

[t,x]=ode45('studf',[0 5],[1]);

plot(t,x),grid

>> studint

Очевидно, здесь при единичном начальном условии было проинтегрировано дифференциальное уравнение dx/dt=-1.5*x, и получена экспонента.

Литература (основная):

1. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5+SIMULINK. Основы применения. Полное руководство пользователя. Москва: Солон-Пресс, 2002.