Лекции (Лекции Орлова по микропроцессорам), страница 3
Описание файла
Документ из архива "Лекции Орлова по микропроцессорам", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "цифровые и импульсные устройства" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "цифровые и импульсные устройства" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Лекции"
Текст 3 страницы из документа "Лекции"
В этом случае имеем частный случай двоично-кодированной системы счисления, при которых двоичное число и двоично-кодированное число совпадают. Этот факт используют для более короткой записи двоичных чисел. Обычно берут p=23=8 (восьмеричная система счисления) и p=24=16 (шестнадцатеричная система счисления).
Пример 1.9.
а) восьмеричное число (273,54)8 переводится в двоичную систему (8=23) следующим образом:
2 73,54=010 111 011, 101 100= 101111011,1011
двоично-кодированное представление
Группа из трёх двоичных разрядов называется триадой.
б) двоичное число (11011,0011) 2 переводится в восьмеричную следующим образом:
( 11011,0011) 2=11 011,001 1=011 011,001 100 =(33,14) 8
двоично-кодированное представление
в) шестнадцатеричное число (А5, В1Е) 16 переводится в двоичную систему исчисления (16=24) следующим образом:
( А5, В1Е) 16=1010 0101, 1011 0001 1110=(10100101,10110001111) 2
двоично-кодированное представление
г) двоичное число (11011000111101) 2 переводится в шестнадцатеричную систему следующим образом:
(11011000111101) 2 =11 0110 0011 1101= 0011 0110 0011 1101=(363D) 16.
1.3. Представление информации в ЭВМ.
ЭВМ оперирует с данными трёх основных типов: числами, строками символов и логическими значениями.
1.3.1. Двоичные числа.
Основной формой представления числовых значений в ЭВМ являются двоичные числа. Двоичные числа – это значения представленные в двоичной системе счисления. Числовые значения могут быть двух типов: целые и действительные и для их изображения в ЭВМ используют две формы: с фиксированной запятой (точкой) и с плавающей запятой (точкой).
Представление числа с фиксированной запятой имеет следующий формат (структуру):
(1.5)
Разряд с номером «n» является знаком числа: знак «+» кодируется цифрой 0, а знак «» - цифрой 1. Разряды от 0 до n-1 являются цифровыми. Запятая фиксируется в определённом месте относительно разрядов числа. Обычно она находится или перед старшим разрядом или после младшего. Формат числа с фиксированной запятой после младшего разряда служит для изображения целых чисел N. Число разрядов n определяет диапазон значений, которые могут быть представлены в этом формате: N[-(2n-1),+(2n-1)].
Увеличение количества цифровых разрядов n на единицу расширяет диапазон значений в два раза.
Выполнение операций над целыми числами, изображаемыми словами фиксированной длины, имеет следующие особенности. Операции сложения и вычитания определены только в том случае, если результат может быть представлен в n цифровых разрядах, т. е. если результат |C|<2n. В противном случае говорят, что результат переполняет размерную сетку ЭВМ. Если |C|2n в процессоре формируется признак переполнения, используемый для прекращения вычислений.
Формат числа с запятой, фиксированной перед старшими разрядом, используется для представления действительных чисел, принадлежащих отрезку [-(1-2-n),+(1-2-n)] и изменяются с шагом 2-n. В отличие от целых, они представляются приближённо с погрешностью =2-(n+1). Отсюда следует, что количество цифровых разрядов определяет точность представления значений числами с фиксированной запятой. С увеличением n на один дополнительный разряд погрешность уменьшается в два раза.
Выполнение операций над действительными числами в форме с фиксированной запятой имеет следующие особенности. Операции сложения и вычитания определены в том случае, если результат может быть представлен в форме с фиксированной запятой, т.е. если результат |C|<1. В противном случае фиксируется переполнение. Деление А/B возможно, если B0 и |A|<|B|.
В современных ЭВМ для представления действительных чисел широкое распространение получил другой способ – представление чисел с плавающей запятой. При этом число представляется в виде:
Z=MdP (1.6)
где d – основание чисел с плавающей запятой.
P – целое число, называемое порядком числа Z;
M – мантисса числа Z.
Как видно из (1.6) число представляет собой произведение мантиссы и экспоненты по основанию d, поэтому такое представление называют также экспоненциальным.
Обычно d=2r, r=1,2,… В качестве основания d чаще всего используется значение 2 или 16. Мантисса числа с плавающей запятой всегда меньше единицы, и если выполняется условие:
то такое число называется нормализованным. В противном случае число называется ненормализованным.
Число с плавающей запятой имеет следующий формат:
(1.8)
Разряд m+p+1 слова представляет знак числа, который одновременно является знаком мантиссы. Мантисса М представляется m – разрядным числом с фиксированной запятой. Знак порядка кодируется «m+p» - ым разрядом слова. Порядок Р является целым числом и занимает р разрядов с m по m+p+1. У нормализованных чисел r старших разрядов мантиссы не равны нулю.
В ЭВМ знак порядка и порядок представляются одним (р+1) – разрядным целым значением Х, называемым характеристикой числа с плавающей запятой, которая связана с порядком соотношением:
X=2P+P, (1.9)
С учётом этого порядок определяется по значению характеристики Х следующим образом:
P=2P-X, (1.10)
где 0X2P+1-1
Как следует из (1.9) и (1.10), значение характеристики 0,1,2,…,2P используются для представления порядков –2P,-(2P-1),-(2P-2),…,0 соответственно, а значения характеристики 2P+1, 2P+2,…,2P+(2P-1) – значения для представления порядков 0,1,2,…,2P–1. При этом нулевое значение старшего разряда характеристики соответствует знаку порядку минус, а единичное значение – знаку плюс. Таким образом, характеристика – это дополнительный код порядка с инверсным представлением знака. Использование характеристики несколько упрощает алгоритм операций над числами с плавающей запятой.
Учитывая, что и , и , получим, что нормализованные числа с плавающей запятой обеспечивают представление значений в диапазоне
с предельной относительной погрешностью
так как 2-m<<1, выражение (1.11) преобразуется к виду
или переходя к десятичному основанию,
За счёт ненормализованных чисел диапазон значений Z расширяется слева на . В этой области значения представляются с предельной относительной погрешностью, лежащий в интервале Из (1.13) и (1.14) видно, что диапазон определяется величиной основания и порядком, а точность представления чисел количеством разрядов мантисс. Увеличение основания d приводит к существенному расширению диапазона значений, а погрешность при этом увеличивается незначительно. По этой причине в ЭВМ общего назначения, к которым принадлежат ЕС ЭВМ, IBM 360/370, использовалось основание 16.
Из–за ограниченности числа разрядов мантиссы и порядка при выполнении операций над числами с плавающей запятой могут возникать следующие особые случаи.
-
Потеря значимости имеет место при выполнении операций сложения и вычитания, когда при равных порядках модули мантисс равны с точностью до m старших разрядов. В этом случае выполнение операции приводит к числу с нулевой мантиссой и ненулевым порядком, т.е. к числу без значащих цифр. Полученное значение рассматривается как машинный нуль, который представляется словом с нулевыми значениями во всех разрядах.
-
Исчезновение порядка происходит, когда порядок результата должен иметь значение, меньшее –2P – максимального по модулю отрицательного порядка. В таком случае результат приходиться представлять машинным нулём.
-
Переполнение порядка возникает, когда порядок результата должен иметь значение, превосходящее максимально возможное (2Р-1). Такое значение не может быть представлено в формате (1.8), поэтому результат операции считается неопределённым, что отличается выработкой признака переполнения.
-
Деление на нуль, которое невозможно, что отличается выработкой признака переполнения.
В современных ЭВМ используются целые числа и числа с плавающей запятой. Целые числа представляются в формате с фиксированной запятой (1.5), расположенной после младшего разряда. Используется представление целых чисел со знаком и без знака. Для примера рассмотрим представление целых чисел в персональных ЭВМ IBM PC.
Для представления действительных чисел с различной точностью используются несколько форматов чисел с плавающей запятой. В персональных ЭВМ IBM PC используются следующие форматы:
1.3.2. Кодирование десятичных чисел и алфавитно-цифровой информации.
Современные ЭВМ обрабатывают не только числовую, но и текстовую, другими словами – алфавитно-цифровую информацию, содержащую цифры, буквы, знаки препинания, математические и другие символы. Именно такой характер имеют экономическая, планово-производственная, учётная информация, а также тексты программ на алгоритмических языках и другая информация. Характер этой информации такой, что для её представления требуются слова переменной длины.
Возможность ввода, обработки и вывода алфавитно-цифровой информации важна и для решения чисто математических задач, так как позволяет оформлять результаты вычислений в удобной форме – в виде таблиц с нужными заголовками и пояснениями.