123714 (Предельное равновесие балок и рам)

Московский государственный технический

Университет им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

Предельное равновесие балок и рам

Распространенный в практике расчёта машиностроительных конструкций расчёт по допускаемым напряжениям не даёт представления об истинным запасе прочности. Если напряжённое состояние неоднородно, то возникновение пластических деформаций в одной точке ещё не означает наступления предельного состояния для всей конструкции.

Под предельной понимается та нагрузка, при которой исчерпывается способность системы воспринимать возрастающую нагрузку, или такая, при которой возникают столь значительные изменения геометрических размеров системы, что последняя перестаёт удовлетворять своему назначению.

Под термином метод предельного равновесия понимается расчёт систем в предположении, что материал их имеет диаграмму '' '' с неограниченной площадкой текучести (Рис.1). Начальный участок диаграммы соответствует упругой работе материала с модулем упругости Е и верхней границей, равной _y. Горизонтальный участок – идеальной пластичности материала (деформации неограниченно растут при стабильном ном напряжении). Такая диаграмма называется обычно диаграммой идеально упругопластического тела или диаграммой Прандтля.

_y

0

Рис. 1

1. Предельный момент для сечения балки

При значениях изгибающего момента М _тW_x поперечное сечение балки переходит в упругопластическое состояние. По мере роста деформаций, упругое ядро сечения сокращается и в пределе эпюра нормальных напряжений приобретает вид двух прямоугольников ( Рис. 2 ). Это состояние сечения и будем считать предельным.

Зависимость между кривизной оси балки и изгибающим моментом будет иметь вид, изображённый на Рис. 3. Учитывая, что в расчет уже внесена погрешность, обусловленная принятием диаграммы Прандтля, аппроксимируем зависимость ''кривизна – момент'' двумя отрезками прямых.

Y _y М

А ^-

x _{0 y}W_x м_u

И стинная зависимость

А⁺ 1/

0 _{КРИВИЗНА БАЛКИ}

_y

Рис. 2 Рис. 3

Обратим внимание на то, что зависимость между М и 1/ подобна диаграмме Прандтля. Предельное состояние сечения считается достигнутым сразу после окончания упругой стадии работы сечения, которая несколько продлевается за счёт упругой стадии. Значение момента, соответствующее предельному состоянию, называется предельным моментом. Предельному моменту соответствует неопределённое значение кривизны от М_пр/ ЕI_x до . Эта условная стадия работы сечения называется пластическим шарниром.

Предельный момент можно вычислить, как момент внутренних сил сечения относительно нейтральной оси в предельном состоянии x₀ (Рис.2). Полагая пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковыми и равными _y, получим:

М_u = _y y dA + _y y dA = _y ( S_xo⁺ + S_xo^- ) = _y W_пл ;

A⁺ A^-

W_пл = S_xo⁺ + S_xo^- пластический момент сопротивления;

S_xo⁺ и S_xo^- cтатические моменты, соответственно, растянутой и сжатой зоны сечения (Рис. 2), взятые относительно оси x₀. Положение оси x₀ найдётся из условия, что она делит сечение на две равновеликие по площади части: А⁺ = А^-.

Итак! Сечение, перешедшее в предельное состояние, ведёт себя подобно шарниру. Пластический шарнир имеет следующие отличия:

1. в нём действует изгибающий момент, равный M_u ;

2. он односторонний;

3. при уменьшении нагрузки он может закрыться.

1. Предельное равновесие балок и рам

Приведенное вначале определение предельного состояния системы слишком общее и для достижения результата должно быть конкретизировано. Для балок и рам, материал которых следует диаграмме Прандтля, оно может быть сформулировано:

Предельное состояние балки (рамы) будет достигнуто тогда, когда в ней появится столько пластических шарниров, что система станет кинематически изменяемой.

Нагрузка, соответствующая предельному состоянию системы, называется предельной нагрузкой. Предельную нагрузку можно найти, рассматривая равновесие механизма, который образуется из системы после того, как в ней появится достаточное число пластических шарниров. Полагается, что механизм перехода в предельное состояние представляет собой абсолютно жёсткие звенья, соединённые между собой шарнирами. Таким образом, считают, что зона текучести по длине балки или стержня рамы ограничивается одним сечением – пластическим шарниром. Перемещения механизма, допустимые связями, будем рассматривать, как возможные. Тогда можно записать уравнение работ, используя принцип возможных перемещений:

Суммарная работа всех внешних и внутренних сил на любых возможных перемещениях равна нулю.

При решении задач используется кинематический экстремальный принцип (А.А. Гвоздев , 1938г.):

Истинной форме перехода в предельное состояние соответствует минимальное значение предельной нагрузки.

Следует учитывать, что кинематический способ определения предельных нагрузок всегда даёт верхнюю оценку несущей способности конструкции.

3. Примеры

Пример 1. Статически определимая балка на двух опорах загружена силой, приложенной посредине пролёта (Рис. 4). Найти предельную нагрузку для балки.

F _u

В

А С

В ₁ M_u 2

L /2 L /2

Рис. 4

Очевидно, что для перехода балки в предельное состояние необходимо появление одного пластического шарнира. Он появится в средине пролёта, под силой. Используем принцип возможных перемещений и запишем уравнение работ: F_u BB₁ M_u = 0,

здесь учтено, что работа внутренних сил всегда отрицательна, т.к. они направлены в сторону противоположную перемещению. Кроме того, мы полагаем, что т. к. угол мал: = 2ВВ₁ / L . Тогда значение предельной силы будет равно:

F_u = 4M_u / L .

При заданном сечении, а также известном пределе текучести M_u легко вычисляется, согласно изложенному выше и, следовательно, поставленная задача решена.

П ример 2. Двухпролётая, один раз статически неопределимая балка загружена в левом пролёте сосредоточенной силой (Рис. 5). Найти предельное значение силы.

F

^{L 2L 2L}

F_u M_u

A B C

M _u B₁

Схема перехода в предельное состояние

Рис. 5

Предельное состояние будет достигнуто в том случае, если появятся два пластических шарнира – один под силой, другой на опоре С. Уравнение работ запишется:

F_u BB₁ M_u M_u = 0, где: BB₁/ L ; BB₁/ 2L ;

тогда: F_u =2,5M_u / L.

Обратим внимание на тот факт, что для определения предельной нагрузки не было необходимости раскрывать статическую неопределимость балки. Здесь было сразу ясно, что наибольшие изгибающие моменты, а, следовательно, и пластические шарниры образуются под силой и на промежуточной опоре. В более сложных случаях знание упругого состояния может быть полезным, хотя с принципиальной точки зрения необязательным, т. к. можно перебрать все кинематически возможные схемы перехода в предельное состояние и отобрать истинную с помощью кинематического экстремального принципа.

П ример 3. Двухпролётная статически неопределимая балка загружена равномерно распределённой нагрузкой, приложенной в левом пролёте (Рис. 6). Найти предельную нагрузку для балки.

q

L L

q_u M_u

A B C

D D₁ M_u

D₁

L

Cхема перехода в предельное состояние

Рис. 6

Балка исчерпает свою несущую способность в том случае, когда в ней появятся два пластических шарнира. Один пластический шарнир возникнет на средней опоре, другой в пролёте под нагрузкой. Положение пластического шарнира в пролёте нам пока неизвестно и мы зададим его безразмерной координатой . Записывая уравнение работ, учтём, что работа равномерно распределённой нагрузки равняется произведению интенсивности нагрузки на площадь фигуры, лежащей под нагрузкой и образованной первоначальным положением оси балки и звеньями механизма, образовавшегося в результате появления пластических шарниров. В нашем случае интенсивность нужно умножить на площадь треугольника ABD₁ (Рис. 6). Таким образом, уравнение работ будет выглядеть:

½ q_u DD₁L – M_u( M_u = 0; DD₁/ L; = DD₁/ ( L(1.

Выражая отсюда q_u, получим:

2M_u (1 + )

q_u = (a)

L² (1 )