6

Лабораторная работа №7

Влияние положения полюсов и нулей на z – плоскости на частотные характеристики цифрового фильтра (ЦФ)

Цель работы

Исследовать, как формируются всплески и провалы АЧХ ЦФ в зависимости от расположения нулей и полюсов на z-плоскости. Найти оптимальное расположение полюсов и нулей при минимуме порядка фильтра, чтобы удовлетворить предъявленным требованиям к АЧХ. Синтезировать фильтры со стандартными характеристиками (Баттерворта, Чебышёва, эллиптический) для тех же исходных требований к АЧХ и сопоставить полученные результаты. Работа осуществляется с использованием программного пакета MATLAB.

Варианты заданий

Краткие теоретические сведения

Передаточную функцию цифрового фильтра (ЦФ) можно записать, зная нули и полюсы z_k и p_k :

K₀(z – z₁)(z – z₂)…(z – z_k)…(z – z_M)

K(z) =

(z – p₁)(z – p₂)…(z – p_k)…(z – p_N) ,

где K₀ – некоторый коэффициент (его можно положить равным единице), max(M,N) – порядок ЦФ.

При переходе к выражению для комплексной частотной характеристики делают замену z=exp(j2f/Fs)=exp(j), где f – текущая частота (в Гц), Fs – частота дискретизации (в Гц),  - угловой параметр, соответствующий нормированной частоте (при этом = соответствует частоте f=Fs/2). Комплексная частотная характеристика в зависимости от углового параметра  приобретает вид:

K₀(exp(j) – z₁)… (exp(j) – z_k)… (exp(j) – z_M)

K () =

(exp(j) – p₁)… (exp(j) – p_k)… (exp(j) – p_N) .

Каждую скобку вида (exp(j) – z_k) или (exp(j) – p_k) можно рассматривать как вектор, направленный из нуля или полюса в текущую точку на единичной окружности, имеющую угловую координату  (см. рис.1).

Рис.1

При изменении углового параметра  векторы также изменяются, отслеживая положение текущей точки. Изменение модуля вектора даёт вклад данного нуля или полюса в АЧХ ЦФ, а изменение угла между вектором и действительной осью z-плоскости – вклад в ФЧХ ЦФ. Вследствие того что функция exp(j) изменяется периодически и изображающая точка, задающая текущую частоту, скользит по окружности единичного радиуса, возвращаясь в прежние положения, частотные характеристики ЦФ носят периодический характер, повторяясь с интервалом =2 или f=Fs. Для формирования АЧХ нужного вида следует разметить верхнюю полуокружность единичного радиуса на z-плоскости, обозначив полосы пропускания и задерживания. Для этого граничные частоты следует пересчитать в угловые параметры: _гр=2f_гр/Fs. Полюса нужно располагать в полосе пропускания внутри единичной окружности (для устойчивости фильтра требуется выполнение условия |p_k| < 1 для любого k). Чем ближе полюс к окружности, тем более резкий и узкий всплеск АЧХ получится вблизи значения , равного угловому положению полюса arg(p_k) (здесь вектор, проведённый от полюса к окружности, самый короткий, а модуль этого вектора стоит в знаменателе выражения для АЧХ). Нули размещают в полосе задерживания. Чем ближе нуль к единичной окружности, тем глубже провал АЧХ при значении , равном угловому положению нуля arg(z_k). На рис.2 приведена диаграмма полюсов и нулей ФНЧ с разметкой полос пропускания и задерживания в виде дуг единичной окружности и соответствующая этой диаграмме АЧХ фильтра. Каждому комплексному полюсу или нулю соответствует комплексно-сопряжённый, расположенный в нижней полуплоскости.

Рис. 2

Порядок выполнения работы

1. Для выданного вам варианта задания выпишите в рабочую тетрадь значения частоты дискретизации, граничных частот полос пропускания и задерживания и требуемых затуханий в этих полосах. Изобразите график допусков. Определите тип фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ППФ или ПЗФ). Рассчитайте угловые параметры, соответствующие граничным частотам, по формуле:

2f_гр

_гр=

Fs .

Нанесите угловые значения на график допусков, проведя ось , параллельную оси частот f.

2. Изобразите в тетради диаграмму полюсов и нулей, разместив полюсы в полосе пропускания, а нули в полосе задерживания. Для начала возьмите фильтр второго порядка (два нуля и два полюса; можете в качестве первоначального варианта взять только два нуля или только два полюса). Запишите ориентировочные значения координат полюсов и нулей.

3. Загрузите MATLAB. В командном окне задайте оператор

>> sptool

Будет загружена программа SPTool (Signal Processing Tool). Откроется окно SPTool: startup.spt. Нажмите кнопку New в середине нижней части окна (под списком Filters). Откроется окно Filter Designer. В раскрывающемся списке Algorithm выберите последнюю строку Pole/Zero Editor. В графической части окна появится z-плоскость с нанесёнными на неё полюсами и нулями. Нажмите кнопку Delete All в нижней части окна. Введите значение частоты дискретизации (в Гц) в поле Sampling Frequency. Пользуясь кнопками с нанесёнными изображениями стрелок и ластика, расположенными под значением частоты дискретизации, а также перемещая мышь с нажатой левой кнопкой, разместите полюсы и нули на z-плоскости в соответствии с рисунком, сделанным вами при выполнении п.2. Редактируемые полюсы или нули отображаются на диаграмме крупными значками зелёного цвета. Их координаты отображаются в разделе Specifications. Следите за тем, остаётся ли фильтр устойчивым (строчка STABLE в разделе Measurements). Невыделенные полюсы и нули отображаются мелкими значками синего цвета. В разделе Specifications задайте систему координат (Polar или Rectangular). Переключитесь в окно SPTool: startup.spt. Нажмите кнопку View под списком Filters. Откроется окно Filter Viewer. Укажите в разделе Plots только один график – АЧХ (Magnitude), задайте масштаб (linear или decibels). Разместите окна Filter Viewer и Filter Designer рядом друг с другом на экране. Перенесите в тетрадь схематичное изображение АЧХ с указанием значений на границах полос пропускания и задерживания. Для более точного определения координат интересующих вас точек графика используйте маркеры. Можно использовать способ увеличения нужной части графика, применяя протаскивание мыши с нажатой левой кнопкой (предварительно нужно нажать соответствующую кнопку панели инструментов).