части фильтра от i-го источника шума до выхода. Суммирование квадратов

отсчётов импульсной характеристики ведётся для всех номеров n, при которых значения g_i[n] существенны (не являются пренебрежимо малыми).В силу независимости источников шума полная дисперсия шума квантования на выходе фильтра равна сумме дисперсий отдельных источников:

²_вых=²_{вых i} . В результате анализа, основанного на изложенном подходе,

ⁱ

можно определить , как связаны дисперсии шума квантования на входе и выходе цифрового фильтра для различных структур фильтра.

1. Прямая и транспонированная структуры.

²_вых=²_вх( (g[n])²+(k+m)(g_рек[n])²), (8)

где k – количество умножителей в обратных связях (с коэффициентами a),

m – количество умножителей в прямых связях (с коэффициентами b),

g_рек[n] – импульсная характеристика рекурсивной части фильтра.

- 27 -

В случае прямой структуры, как видно из её схемы (см. подраздел 6.1), шум всех умножителей проходит только через рекурсивную часть (умножители с коэффициентами a), в то время как входной шум проходит через весь фильтр. То же самое можно сказать и о транспонированной структуре (см. подраздел 6.3). Дисперсия шума умножителей равна дисперсии входного шума ²_вх, поскольку, как указывалось выше, отсчёты сигнала везде представлены одинаковым количеством разрядов p. Следует отметить, что числа k и m необязательно равны количеству коэффициентов a_k и b_k , т.е. числам N и M+1 соответственно, так как некоторые из коэффициентов могут быть нулевыми или равняться единице. В этих случаях умножители не применяются.

1. Каноническая структура.

²_вых=²_вх ((k+1)(g[n])² + m). (9)

Анализ канонической структуры (см. подраздел 6.2) показывает, что входной шум и шум умножителей рекурсивной части (коэффициенты a) проходят через весь фильтр, а шум умножителей с коэффициентами b непосредственно проходит на выход.

1. Каскадная структура со звеньями в виде прямых или транспонированных структур.

²_вых=²_вх c₁c₂…c_L , (10)

где c_i= (g_i[n])² + (k_i+m_i)(g_{рек i} [n])² , i=1,2,…, L, (11)

L – количество каскадов.

Шум квантования, прошедший через первый каскад, характеризуется дисперсией ²_вхc₁. Этот шум является входным для следующего каскада, поэтому дисперсия шума на выходе второго каскада ²_вхc₁c₂ и т.д. Из этого рассуждения становится понятным, каким образом составлено выражение (10).

1. Каскадная структура со звеньями в виде канонических структур.

²_вых=²_вх c₁c₂…c_L ,

где c_i= (k_i+1) (g_i[n])² + m_i , i=1,2,…, L (12)

1. Параллельная структура со звеньями в виде прямых или транспонированных структур.

²_вых=²_вх (c₁ +c₂ +…+c_L ) , (13)

- 28 -

где c_i определяются выражением (11), L – количество параллельно включённых звеньев.

1. Параллельная структура со звеньями в виде канонических структур.

²_вых=²_вх (c₁ +c₂ +…+c_L ) ,

где c_i определяются выражением (12), L – количество параллельно включённых звеньев.

1. Нерекурсивный фильтр.

²_вых=²_вх ((g[n])² + m) =²_вх(b_k² + m) (14)

(см. рис. на с.19) .

Допустимую дисперсию (среднюю мощность ) шума квантования на выходе можно рассчитать по формуле (6), в которой положить А_max=1. Затем из формул (8) – (14) выразить дисперсию входного шума квантования ²_вх, предварительно рассчитав отношение дисперсий для нужной структуры в соответствии с приведёнными выражениями. Далее на основании выражения (7) получаем наименьшее количество двоичных разрядов:

p= int [ 0.5 log₂ (1/(12²_вх)) ] +1, (15)

где int [] – операция взятия целой части. С учётом знакового разряда нужно полученное по формуле (15) значение увеличить ещё на единицу.

При работе в среде MatLab для расчёта наименьшей разрядности сигнала и выходных регистров умножителей цифрового фильтра можно применить программу minubit. Она вызывается следующим образом:

>> minubit (b, a, D, R)

Здесь b и a – векторы коэффициентов передаточной функции фильтра, D – динамический диапазон входного сигнала [дБ], R – допустимое отношение сигнал/ шум квантования на выходе фильтра [дБ].

Программа рассчитывает наименьшее количество разрядов (с учётом знакового) для структур перечисленных выше типов. Если фильтр рекурсивный, то производится расчёт для девяти структур (см. с. 26 – 28). Если фильтр нерекурсивный, то для одной структуры (см. с.28 и рис. на с.19). Результаты расчётов выводятся в командное окно по завершении работы программы. Кроме наименьшей разрядности приводятся также значения дисперсии шума квантования на входе и выходе фильтра. Анализируя полученные результаты, можно выбрать оптимальную структуру, обеспечивающую заданное отношение сигнал/ шум квантования на выходе фильтра при заданном динамическом диапазоне и позволяющую установить самую маленькую разрядность отсчётов сигнала по сравнению с другими структурами.

- 29 -

9.3. Расчёт дисперсии шума квантования на выходе фильтра при заданной разрядности отсчётов сигнала

Поставим теперь задачу несколько иначе. Пусть разрядность входного сигнала, а также разрядность сигналов на выходах умножителей известна. Нужно рассчитать дисперсию шума квантования на выходах различных структур цифрового фильтра, обладающих одной и той же передаточной функцией K(z). Поскольку дисперсия входного шума однозначно определяется количеством разрядов (см. (7)), то она одинакова для всех структур, а так как выражения (8) – (14), связывающие дисперсии шума квантования на входе и выходе различны, получается, что разные структуры будут давать на выходе шум квантования различной средней мощности.

Чтобы произвести расчёт, вызовите программу quanod:

>> quanod (b, a, p)

Здесь b, a – векторы коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра; p – разрядность сигнала. Программа рассчитывает и выводит в командное окно дисперсию шума квантования на выходе фильтра для девяти перечисленных выше структур рекурсивного фильтра или для нерекурсивного фильтра, если задан именно он. Выводится также и значение дисперсии шума квантования входного сигнала. На основании анализа полученных результатов можно выбрать оптимальную структуру, обеспечивающую наименьшую дисперсию шума квантования на выходе.

10. Моделирование работы цифрового фильтра

Моделирование работы цифрового фильтра предполагает задание тестового сигнала, использование его отсчётов в качестве входных в алгоритме цифровой фильтрации, нахождение выходного сигнала и сравнение его с входным. Кроме того, полезно рассмотреть спектры входного и выходного сигналов и сопоставить их с частотной характеристикой фильтра.

10.1. Задание тестовых сигналов

Данная процедура осуществляется в рабочей области MatLab. Сигнал задаётся в виде вектора, сопоставленного с вектором моментов времени. Перед вводом непосредственно модели сигнала нужно указать частоту дискретизации и сформировать вектор-столбец моментов времени. Например,

>> Fs = 1e3; t=0:1/Fs:1; t=t’;

- 30 -

В данном случае введена частота дискретизации 1кГц. Сигнал будет задан на интервале времени 1с (1001 отсчёт). Последний оператор означает преобразование вектора-строки в вектор-столбец ( ‘ – операция транспонирования матрицы). Не следует забывать ставить точку с запятой в конце каждого оператора, чтобы подавить вывод значений на экран монитора.

Рассмотрим некоторые из возможных сигналов.

а) Прямоугольный импульс.

>> s=A* rectpuls (t – tau/2, tau);

При вводе этого оператора либо нужно предварительно задать значения амплитуды А и длительности tau, либо в самом операторе вместо идентификаторов А и tau поставить численные значения.

б) Треугольный импульс.

>> s= A * tripuls (t – tau/2, tau);

- 31 -

в) Экспоненциальный импульс.

>> s = A * exp ( - t / tau);

Подразумевается, что вектор t задан для моментов времени t  0.

г) Синусоидальный импульс.

>> s = A * sin (pi * t / tau) .* (t>=0) .* (t<=tau);

Здесь используется тот факт, что операции сравнения возвращают 1, если неравенство выполняется, или 0 в противном случае.

д) Радиоимпульсы.

Они получаются при умножении видеоимпульса s на гармоническое колебание:

>> s1 = s .* cos (2*pi*f0*t + phi);

Предварительно нужно задать значение несущей частоты f0 и начальной фазы phi. Обратите внимание, что операция умножения представлена здесь как .* (точка перед знаком *). Это означает поэлементное умножение

- 32 -

векторов (в противном случае производились бы операция матричного умножения). В тех случаях, когда осуществляется умножение скаляров или матрицы (вектора) на скаляр, можно использовать символ *. То же самое относится к операции деления и возведения в степень. Поэлементное деление матриц задаётся оператором . /, поэлементное возведение в степень . ^. Число  задаётся в MatLab как pi.

е) Пачки импульсов.

Для генерации конечной последовательности (пачки) импульсов одинаковой формы с произвольно задаваемыми задержками и амплитудами используется функция pulstran. Она вызывается следующим образом:

s= pulstran (t, d, ‘func’, p₁, p₂ …)

Здесь t - вектор значений моментов времени, d - вектор задержек и амплитуд импульсов, ‘func’- имя функции, задающей одиночный импульс, например, ‘rectpuls’ или ‘tripuls’; p₁, p₂ … - параметры одиночного импульса, передаваемые функции func.

Например, нужно задать следующую последовательность прямоугольных импульсов:

Вводится набор операторов:

>> Fs= 1e3; t= 0:1/Fs:1; t= t’;

>> tau= 0.1;

>> d(: ,1)= [0.05 0.25 0.55]’ ;

>> d(: ,2)= [2 3 - 1]’;

>> s= pulstran (t, d, ‘rectpuls’, tau);

Если нужно построить последовательность импульсов произвольной формы причём отсчёты одиночного импульса записаны в векторе s1, то используют следующую форму задания функции pulstran:

- 33 -

s= pulstran (t, d, s1, Fs);

Например, нужно задать пачку из четырёх синусоидальных импульсов:

Вводятся следующие операторы:

>> Fs= 1e4;

>> t= 0:1/Fs:2e-2; t=t’;

>> tau= 2e-3; A= 2;

>> s1= sin (pi * t / tau) .* (t<=tau);

>> d(: ,1)= (0:3)’ * 5e-3;

>> d(: ,2)= A*ones(4,1);

>> s= pulstran (t, d, s1, Fs);