4.9 (вариант 9 (4 задача))
Описание файла
Файл "4.9" внутри архива находится в папке "09-4". Документ из архива "вариант 9 (4 задача)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "физика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "4.9"
Текст из документа "4.9"
Задача № 38.
Частица массой падает на прямоугольный потенциальный порог высотой . Энергия частицы равна , причём . Найдите эффективную глубину проникновения частицы в область порога, то есть на расстоянии от границы порога до точки, в которой плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз.
Решение:
На рисунке 1 показан вид потенциального порога:
Составим уравнение Шредингера для областей 1 и 2:
Или в виде:
где и . Заметим, что, так как мы рассматриваем случай, когда , то будет чисто мнимым. Решения дифференциальных уравнений (3) и (4) имеют вид:
Первое слагаемое выражения (5) соответствует падающей волне де Бройля частицы, второе слагаемое – отражённой волне. Первое слагаемое выражения (6) соответствует прошедшей дебройлевской волне частицы, других волн во второй области нет, поэтому . Тогда выражение (6) примет вид:
Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Из условия непрерывности пси-функций, имеем для точки :
Используя условие гладкости пси-функций в точке , получим:
Из уравнений (8) и (9) найдём:
Рассмотрим поток плотности вероятности. Он определяется также как и поток других физических величин: , где - скорость частицы, а - квадрат амплитуды пси-функции, который определяет плотность вероятности нахождения частицы. Учитывая, что , получим:
В нашем случае, для падающей, отражённой и прошедшей волн потоки плотности вероятности:
Тогда мы можем найти коэффициенты отражения и пропускания:
Учитывая, что при чисто мнимое, имеем . Тогда коэффициент пропускания равен нулю. Но это не значит, что частица не может находиться в области 2. Поведение частицы в области 2 описывается пси-функцией (7), тогда плотность вероятности нахождения частицы равна:
Мы сделали замену . Пусть - эффективная глубина проникновения частицы в область потенциального порога, то есть такое расстояние от границы порога, на котором плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в раз. Тогда:
Учитывая, что , получим для эффективной глубины проникновения частицы в область потенциального порога выражение:
Ответ: