курсовая_МНК (Лабы и курсовая ТВиМС по теме - Метод наименьших квадратов), страница 3

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик , который с заданной вероятностью накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику _{,называется доверительным интервалом для этой характеристики, соответствующим интервалом доверия .}

_{Так как} ~N(0, ² I_N), то можно найти не только точечные оценки, но и интервальные оценки неизвестных параметров. Так как выполняются условия:

у= Х^Т* b+

Е =0; К =Е( ) = ²I_N

Аb^=Ху

det А 0, то S²(b)= (y- Х^Т b)^T(y- Х^Т b);

S²(b^)= (y- Х^Т b^)^T(y-Х^Т b^);

Т²= S²(b)- S²(b^), тогда

b^~ N(b _; ² А^-1);

S²(b^)/ ²~ (n-m);

Т²/ ²~ (m).

При этом b^ и S²(b^), а также S²(b) и Т² независимы.

(r) – хи-квадрат распределение с r степенями свободы. То есть распределение случайной величины ( - независимые и одинаково распределенные по закону N(0,1) случайные величины). Отсюда вытекает, что:

Р(S²(b^)/ _{1- /2,n-m}< 2<S2(b^)/ _/2,n-m)=1- , где 2n-квантиль уровня для 2- распределения с n- степенями свободы.

Далее, (b_i^-b_i/ c_ii)/( S²(b^)/ )= *( b_i^- b_i)/c_ii S(b^)~t(n-m), где

с_ii- обозначает (i,i)- й элемент матрицы А^-1, а символ t(n-m)- распределение Стьюдента с n-m степенями свободы, распределение случайной величины. Отсюда:

Р(b_i^-t_{1- /2,n-m}*c_iiS(b^)/ <b_i<b_i^+t_{1- /2,n-m}*c_iiS(b^)/ )=1- , где t - квантиль уровня для распределения Стьюдента с n степенями свободы.

Расчет доверительного интервала ² .

По формуле:

Р(S²(b^)/ _{1- /2,n-m}< ²<S2(b^)/ _/2,n-m)=1- , где

S²(b^)- значение, которое мы берем из этапа 2(Таблица № 3 ( y- y ^)²) _{1- /2,n-m}; _/2,n-m- квантиль уровня 0,95 (0,05) для распределения с 38 степенями свободы и равно 53,38351 (24,88389), соответственно.

Р(S²(b^)/ _0,95,38< ²<S2(b^)/ _0,05,38)=0,9,

Р( 123Е-7 < ²< 170Е-6 )=0,9;

Доверительный интервал для ² – 81Е-6 < ²< 111Е-6

Определяем доверительный интервал для b₁^, b₂^, b₃^.

По формуле:

Р(b_i^-t_{1- /2,n-m}*c_iiS(b^)/ <b_i<b_i^+t_{1- /2,n-m}*c_iiS(b^)/ )=1- ;

где: t_1- - распределение Стьюдента с n-m степенями свободы.

t_0,95,38 = 2,04227

S(b^)- значение из этапа 2, S(b^)= = 0,123044707

С_ii- соответствующий элемент матрицы А^-1, значение берем из этапа 2.

Р(b_i^- 2,04227 *c_ii 0,123044707 / <b_i<b_i^+2,04227 *c_ii *0,123044707 / )=0,9

Доверительный интервал для b₁^:

3,996503273 < b₁^< 4,00619438

Доверительный интервал для b₂^:

2,999021874 < b₂^< 3,015350856

Доверительный интервал для b₃^:

0,988198305 < b₃^< 1,00450879

Список литературы:

1. Кочетков Е. С. Метод наименьших квадратов. Учебное пособие. М.: Издательство МАИ, 1993

2. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982.

3. Ивченко Г. И., Медведев Ю. Н. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.