курсовая_МНК (554757), страница 2
Текст из файла (страница 2)
y2 = b1+b2*t2+b3*t22+2
…
yn = b1+b2*tn+b3*tn2+n
Или их можно записать в векторной записи: yi = XTb + , где ~N(0,2IN) – нормально распределенный случайный вектор ошибок измерений такой, что E = 0, K = E(T) = 2IN, INRN*N – единичная матрица, параметр b=(b1, b2, b3)T R3, XT = Xij R3XN.
Коэффициенты b1^, b2^, b3^ должны быть такими, чтобы вектор y - y^ = y-b1^+b2^*t+b3^*t2 , рассматриваемый как элемент евклидового пространства. Решение этой задачи известно по курсу линейной алгебры. Искомый вектор y^= b1^+b2^*t+b3^*t2 , является ортогональной проекцией вектора у на подпространство, порожденное векторами 1, t, t2 (x1, x2, …,xn), так что скалярное произведение разности у – y^ с каждым из векторов 1, t, t2 (x1, x2, …,xn) равно нулю: (xi,y – y^)=0 (i=1,2,…,m).
Данное соотношение выражает необходимое и достаточное условие минимума длины вектора у – y^. Перепишем их в виде системы относительно искомых уравнений:
(x1,x1)b^1+(x1,x2)b^2+…+(x1,xm)b^m=(x1,y)
(x2,x1)b^1+(x2,x2)b^2+…+(x2,xm)b^m=(x2,y)
…
(xm,x1)b^1+(xm,x2)b^1+…(xm,xm)b^m=(xm,y)
Данная система всегда совместна и однозначно определяет вектор y^= b1^х1+b2^*х2+…+bm^*xm, хотя сами коэффициенты b1^, b2^, b3^… bm^ могут находиться неоднозначно – если векторы x1, x2, …,xm линейно не зависимы.
Матрица
(Х1,Х1) (Х1,Х2) … (Х1,Хm)
А = (Х2,Х1) (Х2,Х2) … (Х2,Хm)
…
(Хm,Х1) (Хm,Х2) …(Хm,Хm)
называется матрицей Грамма для системы векторов x1, x2, …,xm. Эта матрица является невырожденной в том и только том случае, если x1, x2, …,xm - линейно независимая система. Для удобства вводим матрицу:
Х11 Х12 … Х1n
Х = Х21 Х22 … Х2n
…
Хm1 Хm2 … Хmn
Тогда систему уравнений можно переписать в виде так называемой нормальной системы уравнений:
ХХTb^=Xy или
Ab^=Xy, где
A=XXT, так как предположили, что вектора линейно не зависимы, а значит det A 0, получаем:
b^=A-1Xy.
Расчет оценки b^ вектора параметров b.
Уравнение yi = b1^+b2^*ti+b3^*t2i можно записать в матричном виде у= ХTb^, где параметр b^=( b1^, b2^, b3^)Т RN и XT = Xij R3XN – получены в этапе 1 и представлены в таблице 2.
Решением данного уравнения будет уравнение в матричной форме b^=A-1Xy, где A=XXT. Матрица = (1/detA)A*, где detA – определитель матрица, А* - присоединенная матрица. Для расчета матрицы A-1 воспользуемся таблицей 3. Перемножим сначала матрицы Х и У, а затем полученную матрицу умножим на матрицу A-1.
Матрица А:
| 41 | 0 | 9,184 | |
A= | 0 | 9,184 | 0 |
| 9,184 | 0 | 3,70004992 |
Матрица A-1:
| 0,05493 | -0 | -0,13634975 | |
| A-1= | 0 | 0,108885 | 0 |
| -0,1363 | 0 | 0,608704257 |
Определитель матрицы А:
| det A= |
| 618,5992556 |
312,843646
Решение системы: Ху = 124,346784
266,283407
Расчет оценки вектора параметра b:
| b^ = | 0,05493 | -0 | -0,13634975 | * | 312,843646 | = | 1,636941 |
| 0 | 0,108885 | 0 | 124,346784 | 1,508154 | |||
| -0,1363 | 0 | 0,608704257 | 266,283407 | 1,675816 |
Так как у= ХТ + и b^ = A-1Xy, то b^ = A-1X (ХТ + ) = b+ A-1X, b^ - является смещенной оценкой вектора.
Оценка b^ вектора параметров b: b1^ =1,636941; b2^ =1,508154; b3^ =1,675816.
Или в матричной форме: b^ = (1,636941;1,508154;1,675816)Т.
Определение оценки 2^ дисперсии ошибок 2:
Оценка дисперсии 2 рассчитывается по формуле 2^=S2/(n-m). Статистика S2/(n-m) говорит о том, что оценка 2^ несмещенная оценка дисперсии 2. y^ рассчитывается так: y^ =XT*b = XTA-1xy.
Расчет оценки 2^ дисперсии 2:
S2 = (y-y^)T(y-y^)=(y-y^)2. Рассчитываем при помощи таблицы 3.
n – число опытов;
m – число параметров;
2^=0.01514/(41-3) = 0.000398;
Таблица 2. Матрицы y, XT, b,
| 1,44413 | 1 | -0,8 | 0,64 | Оценка b^ | 1,636941 | ξ = | -0,0012 | ||
| 1,44364 | 1 | -0,76 | 0,5776 | 1,508154 | -0,00511 | ||||
| 1,4557 | 1 | -0,72 | 0,5184 | 1,675816 | 0,000977 | ||||
| 1,46836 | 1 | -0,68 | 0,4624 | 0,005106 | |||||
| 1,47914 | 1 | -0,64 | 0,4096 | 0,004793 | |||||
| 1,49493 | 1 | -0,6 | 0,36 | 0,006933 | |||||
| 1,49548 | 1 | -0,56 | 0,3136 | -0,00873 | |||||
| 1,52205 | 1 | -0,52 | 0,2704 | -0,00094 | |||||
| 1,5487 | 1 | -0,48 | 0,2304 | 0,00438 | |||||
| 1,56387 | 1 | -0,44 | 0,1936 | -0,00435 | |||||
| 1,59191 | 1 | -0,4 | 0,16 | -0,00276 | |||||
| 1,61692 | 1 | -0,36 | 0,1296 | -0,00676 | |||||
| 1,64787 | 1 | -0,32 | 0,1024 | -0,00739 | |||||
| 1,68548 | 1 | -0,28 | 0,0784 | -0,00391 | |||||
| 1,72299 | 1 | -0,24 | 0,0576 | -0,00309 | |||||
| 1,75686 | 1 | -0,2 | 0,04 | -0,00847 | |||||
| 1,80487 | 1 | -0,16 | 0,0256 | -0,00227 | |||||
| 1,8499 | 1 | -0,12 | 0,0144 | -0,00162 | |||||
| 1,89899 | 1 | -0,08 | 0,0064 | 0,000539 | |||||
| 1,94648 | 1 | -0,04 | 0,0016 | -0,00146 | |||||
| y = | 1,99869 | XT = | 1 | 0 | 0 | -0,00131 | |||
| 2,05313 | 1 | 0,04 | 0,0016 | -0,00148 | |||||
| 2,11716 | 1 | 0,08 | 0,0064 | 0,005371 | |||||
| 2,17118 | 1 | 0,12 | 0,0144 | -0,00034 | |||||
| 2,23307 | 1 | 0,16 | 0,0256 | -0,00074 | |||||
| 2,29661 | 1 | 0,2 | 0,04 | -0,00205 | |||||
| 2,37397 | 1 | 0,24 | 0,0576 | 0,007889 | |||||
| 2,43952 | 1 | 0,28 | 0,0784 | 0,003463 | |||||
| 2,51809 | 1 | 0,32 | 0,1024 | 0,009503 | |||||
| 2,58106 | 1 | 0,36 | 0,1296 | -0,00262 | |||||
| 2,66798 | 1 | 0,4 | 0,16 | 0,006646 | |||||
| 13,14 | 1 | 0,44 | 0,1936 | -0,00645 | |||||
| 2,82648 | 1 | 0,48 | 0,2304 | 0,002156 | |||||
| 2,91326 | 1 | 0,52 | 0,2704 | 0,003609 | |||||
| 3,00522 | 1 | 0,56 | 0,3136 | 0,007676 | |||||
| 3,08766 | 1 | 0,6 | 0,36 | -0,00034 | |||||
| 3,17892 | 1 | 0,64 | 0,4096 | -0,0021 | |||||
| 3,27929 | 1 | 0,68 | 0,4624 | 0,002701 | |||||
| 3,37319 | 1 | 0,72 | 0,5184 | -0,00153 | |||||
| 3,47844 | 1 | 0,76 | 0,5776 | 0,00303 | |||||
| 3,57289 | 1 | 0,8 | 0,64 | -0,00578 | |||||
Таблица 3. Вспомогательные расчеты для матрицы А-1, произведения матриц Х и У, оценки 2^.
| y | ti2 | ti3 | ti4 | y*t | y*t2 | y^ | y-y^ | (y-y^)2 |
| 1,44413 | 0,64 | -0,512 | 0,4096 | -1,15531 | 0,924245 | 1,34244 | 0,101692 | 0,010341 |
| 1,44364 | 0,5776 | -0,43898 | 0,333622 | -1,09716 | 0,833844 | 1,23258 | 0,211056 | 0,044545 |
| 1,4557 | 0,5184 | -0,37325 | 0,268739 | -1,0481 | 0,754633 | 1,218767 | 0,23693 | 0,056136 |
| 1,46836 | 0,4624 | -0,31443 | 0,213814 | -0,99848 | 0,678969 | 1,39876 | 0,069599 | 0,004844 |
| 1,47914 | 0,4096 | -0,26214 | 0,167772 | -0,94665 | 0,605856 | 1,43998 | 0,03916 | 0,001534 |
| 1,49493 | 0,36 | -0,216 | 0,1296 | -0,89696 | 0,538176 | 1,50763 | -0,0127 | 0,000161 |
| 1,49548 | 0,3136 | -0,17562 | 0,098345 | -0,83747 | 0,468982 | 1,519507 | -0,02403 | 0,000577 |
| 1,52205 | 0,2704 | -0,14061 | 0,073116 | -0,79147 | 0,411562 | 1,566026 | -0,04398 | 0,001934 |
| 1,5487 | 0,2304 | -0,11059 | 0,053084 | -0,74338 | 0,356821 | 1,612544 | -0,06384 | 0,004076 |
| 1,56387 | 0,1936 | -0,08518 | 0,037481 | -0,6881 | 0,302765 | 1,659062 | -0,0952 | 0,009062 |
| 1,59191 | 0,16 | -0,064 | 0,0256 | -0,63676 | 0,254705 | 1,705581 | -0,11367 | 0,012922 |
| 1,61692 | 0,1296 | -0,04666 | 0,016796 | -0,58209 | 0,209553 | 1,752099 | -0,13518 | 0,018274 |
| 1,64787 | 0,1024 | -0,03277 | 0,010486 | -0,52732 | 0,168741 | 1,798617 | -0,15075 | 0,022726 |
| 1,68548 | 0,0784 | -0,02195 | 0,006147 | -0,47193 | 0,132141 | 1,845136 | -0,15966 | 0,025491 |
| 1,72299 | 0,0576 | -0,01382 | 0,003318 | -0,41352 | 0,099244 | 1,891654 | -0,16867 | 0,028449 |
| 1,75686 | 0,04 | -0,008 | 0,0016 | -0,35137 | 0,070274 | 1,938172 | -0,18131 | 0,032874 |
| 1,80487 | 0,0256 | -0,0041 | 0,000655 | -0,28878 | 0,046205 | 1,984691 | -0,17982 | 0,032334 |
| 1,8499 | 0,0144 | -0,00173 | 0,000207 | -0,22199 | 0,026639 | 2,031209 | -0,18131 | 0,032872 |
| 1,89899 | 0,0064 | -0,00051 | 4,1E-05 | -0,15192 | 0,012154 | 2,077728 | -0,17873 | 0,031946 |
| 1,94648 | 0,0016 | -6,4E-05 | 2,56E-06 | -0,07786 | 0,003114 | 2,124246 | -0,17776 | 0,031599 |
| 1,99869 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2,003643 | -0,00495 | 2,45E-05 |
| 2,05313 | 0,0016 | 0,000064 | 2,56E-06 | 0,082125 | 0,003285 | 2,217283 | -0,16415 | 0,026945 |
| 2,11716 | 0,0064 | 0,000512 | 4,1E-05 | 0,169373 | 0,01355 | 2,263801 | -0,14664 | 0,021504 |
| 2,17118 | 0,0144 | 0,001728 | 0,000207 | 0,260541 | 0,031265 | 2,310319 | -0,13914 | 0,01936 |
| 2,23307 | 0,0256 | 0,004096 | 0,000655 | 0,357291 | 0,057167 | 2,356838 | -0,12377 | 0,015319 |
| 2,29661 | 0,04 | 0,008 | 0,0016 | 0,459323 | 0,091865 | 2,403356 | -0,10674 | 0,011394 |
| 2,37397 | 0,0576 | 0,013824 | 0,003318 | 0,569753 | 0,136741 | 2,449875 | -0,07591 | 0,005762 |
| 2,43952 | 0,0784 | 0,021952 | 0,006147 | 0,683064 | 0,191258 | 2,496393 | -0,05688 | 0,003235 |
| 2,51809 | 0,1024 | 0,032768 | 0,010486 | 0,805789 | 0,257852 | 2,542911 | -0,02482 | 0,000616 |
| 2,58106 | 0,1296 | 0,046656 | 0,016796 | 0,929182 | 0,334505 | 2,58943 | -0,00837 | 7E-05 |
| 2,66798 | 0,16 | 0,064 | 0,0256 | 1,067192 | 0,426877 | 2,635948 | 0,032031 | 0,001026 |
| 13,14 | 0,1936 | 0,085184 | 0,037481 | 5,7816 | 2,543904 | 2,682466 | 10,45753 | 109,36 |
| 2,82648 | 0,2304 | 0,110592 | 0,053084 | 1,356708 | 0,65122 | 2,728985 | 0,097491 | 0,009504 |
| 2,91326 | 0,2704 | 0,140608 | 0,073116 | 1,514896 | 0,787746 | 2,775503 | 0,137759 | 0,018978 |
| 3,00522 | 0,3136 | 0,175616 | 0,098345 | 1,682925 | 0,942438 | 2,822022 | 0,183201 | 0,033563 |
| 3,08766 | 0,36 | 0,216 | 0,1296 | 1,852597 | 1,111558 | 2,86854 | 0,219122 | 0,048014 |
| 3,17892 | 0,4096 | 0,262144 | 0,167772 | 2,034508 | 1,302085 | 2,915058 | 0,26386 | 0,069622 |
| 3,27929 | 0,4624 | 0,314432 | 0,213814 | 2,229915 | 1,516342 | 2,961577 | 0,317711 | 0,10094 |
| 3,37319 | 0,5184 | 0,373248 | 0,268739 | 2,4287 | 1,748664 | 3,008095 | 0,3651 | 0,133298 |
| 3,47844 | 0,5776 | 0,438976 | 0,333622 | 2,643617 | 2,009149 | 3,054613 | 0,42383 | 0,179632 |
| 3,57289 | 0,64 | 0,512 | 0,4096 | 2,858312 | 2,28665 | 3,101132 | 0,471758 | 0,222556 |
Этап 3. Доверительные интервалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
