Курсовая по твимсу

Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

Кафедра 508

Теория вероятностей и математическая статика

Курсовая работа по теме:

«Использование вероятностно-статистических методов при принятии решений в технических задачах»

Выполнила студентка

Группы 20…

Проверил: Мирошкин В.Л.

Москва 2007

Содержание

Задание..........................................................................................................................3

Теоретическая часть

1. Основные непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное(показательное), нормальное(гауссовское)................................5

2. Распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера............................................10

3. Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных

оценок: несмещенность, состоятельность................................................................13

1. Выборочные моменты.......................................................................................16

2. Метод наименьших квадратов..........................................................................19

Практическая часть.....................................................................................................20

Список литературы.....................................................................................................25

Исходные данные: Даны моделируемые на ЭВМ результаты измерений полезного сигнала, содержащие случайные ошибки. Ошибки измерений – центрированные гауссовские независимые случайные величины с известными одинаковыми дисперсиями D=δ² (т.е. измерения – равноточные)

Задание:

1. Используя метод наименьших квадратов (МНК), подобрать наилучшую линейную аппроксимацию измеряемого полезного сигнала (найти точечные оценки параметров линейного уравнения регрессии точечную оценку неизвестной дисперсии ошибки измерения).

1. Выписать закон распределения найденных оценок.

1. Построить доверительные интервалы для этих оценок надёжности 0,95.

Вариант (номер по списку) № 8

Датчик, регулирующий реализацию случайных величин.

X_i имеет нормальное распределение N (0; 1)

N=N_{№ по списку} +15=8+15=23

δ²= N_{№ по списку} /2=4

a= N_{№ по списку} /3=2,67

b= N_{№ по списку=}8

Теоретическая часть.

1. Основные непрерывные распределения

1. 1. Равномерное распределение

Определение 1.1 СВ Х распределена равномерно на отрезке [a,b] (X~R(a;b)), если плотность вероятности имеет вид

(рис. 1)

Свойства R(a;b)

1. Функция распределения имеет вид (рис. 2)

1. Характеристическая функция СВ X~R(a;b) равна

1. МО и дисперсия по определению равны

В данном случае МО можно было бы найти проще, так как график плотности вероятности равномерного закона симметричен относительно прямой x=(a+b)/2.

1. Линейное преобразование переводит СВ X~R(a;b) в СВ Y~R(0;1).

1. Если СВ Y имеет непрерывную строго возрастающую функцию распределения F_Y(y), то СВ имеет распределение R(0;1). В этом случае функция имеет обратную функцию и эти функции являются взаимно обратными. Поэтому для всех получаем

Кроме того, , если x<0, и , если x>1. Таким образом, СВ будет иметь требуемую функцию распределения F_Y(y), если X~R(0;1).

Замечание 1. Свойство 5)R(0;1), верное и в более общем случае, когда функция распределения лишь непрерывна, использует­ся для моделирования СВ с произвольно заданным законом распре­деления.

Замечание 2. Равномерное распределение является непре­рывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опы­тов с равновероятными исходами.

1. 2. Экспоненциальное распределение.

Определение 1. 2. СВ X имеет экспоненциальное (показа­тельное) распределение с параметром λ > 0, т. е. X ~ Е(λ), если плотность вероятности имеет вид (рис. 3)

Свойства Е(λ)

1. Функция распределения СВ X ~ Е(λ) равна (рис. 4) F(x) = 0, если х < 0, и

1. Характеристическая функция СВ X ~ Е(λ):

1. Найдем МО и дисперсию CB X~ E(λ):

Замечание 3. Экспоненциальное распределение является од­ним из основных распределений, используемых в теории надежности.

1. 3. Нормальное распределение

Определение 1. 3. СВ X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами т и σ² > 0, т.е. X~N(m;σ²), если

При этом СВ называется нормальной (гауссовской). График плот­ности нормального распределения, называемый кривой Гаусса, имеет единственный максимум в точке х = т (рис. 5).

Свойства N(m;σ²)

1) Найдем выражение для функции распределения СВ X ~N(m;σ²):

Здесь введено обозначение для функции распределения стандартной нормальной СВ X ~ N(0; 1). Вместо Ф(y) в справочниках встречается также функция Лапласа .

2) Характеристическая функция СВ X ~ N(0; 1) имеет вид .

3) МО и дисперсия СВ X ~ N(m;σ²) равны

В данном случае МО можно было бы найти проще, воспользовав­шись свойством 9) m_Х, так как график плотности вероятности нор­мального закона распределения симметричен относительно прямой х = m.

4) С помощью линейного преобразования Х^*= (X — т)/σ нормаль­ное распределение N(m;σ²) переходит в стандартное нормальное N(0;1) с функцией распределения .

5) Нормально распределенная СВ с большой вероятностью при­нимает значения, близкие к своему МО, что описывается «правилом к сигм»:

Замечание 4. Нормальное распределение имеет широкое распространение в прикладных задачах. Это связано с тем, что в ре­альности многие исследуемые СВ являются следствием различных случайных событий. В частности, при достаточно общих предположе­ниях сумма большого числа независимых СВ имеет распределение, близкое к нормальному.

1. Основные распределения в статистике

1. 1. Распределение хи-квадрат

Определение 2. 1. Пусть U_k, , - набор из n независимых нормально распределенных СВ, ~N(0;1). Тогда СВ

Имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, что обозначается X_n~χ²(n)

Свойства распределения хи-квадрат χ²(n)

1. СВ X_n имеет следующую плотность распределения:

где - гамма-функция.

1. Характеристическая функция СВ X_n имеет вид

1. СВ X_n~χ²(n) имеет моменты:

1. Сумма любого числа m независимых СВ X_k, , имеющих распределение хи-квадрат с n_k степенями свободы, имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы.

1. Распределение хи-квадрат обладает свойством асимптотиче­ской нормальности:

при

где СВ U имеет распределение N(0;1). Это означает, что при достаточно большом объеме п выборки можно приближенно считать X_n~N(n; 2n). Фактически эта аппроксимация имеет место уже при n > 30.

2.2. Распределение Стьюдента

Определение 2.2. Пусть U и Х_п — независимые СВ, U ~N(0; 1), Х_п ~ χ²(п) . Тогда СВ имеет распреде­ление Стьюдента с п степенями свободы, что обозначают как Т_п~S(n).

Свойства распределения Стьюдента S(n)

1) СВ Т_п имеет плотность распределения

2) СВ T_n имеет МО, равное М[Т_n] = 0 для всех n 2, и дисперсию D[T_n] = п/(п - 2) при n > 2. При n = 2 дисперсия .

3) При п = 1 распределение Стьюдента называется распределени­ем Коши, плотность которого равна

Математическое ожидание и дисперсия СВ T₁, имеющей распределе­ние Коши, не существуют, так как бесконечен предел

4) Можно показать, что при распределение S (n) асимптотически нормально, т. е. , где СВ U имеет распределение

N(0; 1). При п 30 распределение Стьюдента S (п) практически не отличается от N(0; 1).

3.3. Распределение Фишера

Определение 3.3. Пусть независимые СВ Х_п и Х_т имеют распределения хи-квадрат соответственно с n и m степенями свобо­ды. Тогда СВ имеет распределение Фишера с n и m степенями свободы, что записывают как V_n,m ~F (n; m).

Свойства распределения Фишера F(n;m)

1) СВ V_n,m имеет плотность f(v,n,m) = 0 при v 0 и

при v > 0.

Графики функции f(v,n,m), называемые кривыми Фишера, асим­метричны и при п > 2 достигают максимальных значений в точках

близких к единице при больших значениях тип.

2) СВ V_n,m имеет следующие моменты:

при m>2, при m>4.

1. Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных оценок: несмещенность, состоятельность

Точечное оценивание

Определение 3.1. Параметром распределения СВ X называется любая числовая характеристика этой СВ (мате­матическое ожидание, дисперсия и т.п.) или любая константа, явно входящая в выражение для функции распределения.

В общем случае будем предполагать, что параметр распределе­ния θ может быть векторным, т. е.

В случае параметрической статистической модели ( ) таким параметром распределения может служить неизвестный вектор , характеризующий распределение .

Пусть имеется выборка Z_n = со1(X₁, ... ,Х_п) с реализацией z_n = col(x₁, ...,х_п).

Определение 3.2. Точечной (выборочной) оценкой неизвест­ного параметра распределения называется произвольная статистика (Z_n), построенная по выборке Z_n и принимающая зна­чения в множестве .

Замечание 3.1. Реализацию (z_n) оценки (Z_n) принимают, как правило, за приближенное значение неизвестного параметра θ.