Курсовая по твимсу (554511), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Несмещенность. Состоятельность

Определение 3.3. Оценка (Z_n) параметра θ называется несмещенной, если ее МО равно θ, т.е. для любого

Определение 3.4. Оценка (Z_n) параметра θ называет­ся состоятельной, если она сходится по вероятности к θ, т.е. Р при со для любого .

Определение 3.5. Оценка (Z_n) параметра θ называется сильно состоятельной, если она сходится почти наверное к θ, т.е. при для любого .

Очевидно, что если оценка сильно состоятельная, то она является также состоятельной.

Определение 3.6. Несмещенная оценка *(Z_n) скалярного параметра θ называется эффективной, если

пня всех несмещенных оценок (Z_n) параметра θ, т.е. ее дисперсия минимальна по сравнению с дисперсиями других несмещенных оценок при одном и том же объеме п выборки Z_n .

Вообще говоря, дисперсии несмещенных оценок могут зависеть от параметра θ. В этом случае под эффективной оценкой понимается такая, для которой вышеприведенное неравенство является строгим хотя бы для одного значения параметра θ.

В классе параметрических моделей , рассмотрим подкласс статистических моделей, удовлетворяю­щих некоторым естественным условиям регулярности. С этой целью введем следующие понятия.

Определение 3.7. Несмещенная оценка (Z_n) параметра называется R-эффективной оценкой, если для этой оценки в неравенстве Рао-Крамера достигается равенство, т.е. .

Если R-эффективная оценка существует, то она является также эффективной в смысле минимума дисперсии (см. определение 3.6).

Способ построения R-эффективных оценок вытекает из критерия эффективности, состоящего в следующем. Оценка параметра θ является R -эффективной тогда и только тогда, когда существует некоторая функция а(θ) такая, что выполняется равенство

Интервальное оценивание

Пусть имеется параметрическая ста­тистическая модель ( ), , и по выборке Z_n = = col(Х₁, ...,X_n), соответствующей распределению F(x,θ) наблю­даемой СВ X, требуется оценить неизвестный параметр θ. Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оце­нок неизвестного параметра

.

Определение 3.8. Интервал со случайными концами, «накрывающий» с вероятностью 1 — а, 0 < а < 1, неиз­вестный параметр θ, т. е.

,

называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности 1 - а параметра θ.

Определение 3.9. Число называется доверитель­ной вероятностью или уровнем доверия (надежности).

Определение 3.10. Доверительный интервал называется центральным, если выполняются следующие условия:

Часто вместо двусторонних доверительных интервалов рассматри­вают односторонние доверительные интервалы, полагая или .

Определение 3.11. Интервал, границы которого удовлетворя­ют условию:

(или ),

называется соответственно правосторонним (или левосторонним) доверительным интервалом.

4. Выборочные моменты

Пусть имеется выборка Z_n = = col(X₁, ...,Х_п), которая порождена СВ X с функцией распреде­ления F_Х (x).

Определение 4.1. Для выборки Z_n объема п выборочными начальными и центральными моментами порядка r СВ X называются следующие СВ:

Определение 4.2. Выборочным средним и выборочной дис­персией СВ X называются соответственно

Определение 4.3. Выборочным коэффициентом корреляции СВ X и Y называют

Пусть существуют исследуемые моменты ν_г, μ_Т. Тогда справед­ливы следующие свойства.

Свойства выборочных моментов

1) для любого и для всех г = 1,2, ... Действительно,

2) при для всех r = 1,2, ... Это свойство вытекает из теоремы Колмогорова.

3) при для всех r = 2,3, ... Используя разложение бинома Ньютона, получим

Используя свойство 2)m_X, устанавливаем, что , i = 1, ...,r. Проводя обратное преобразование по биному Ньютона, получаем требуемое утверждение.

4) , где . В самом деле, воспользо­вавшись независимостью СВ Х_к , k = 1, ..., п, по свойству 4)М [X] находим

5) . Пользуясь определениями d_X и m_X и свойством 4)М [X], получаем

6) при , где СВ U₁ имеет распределение N(0; 1). Поскольку последовательность Xi, i = 1,2,..., образована независимыми одинаково распределенными СВ, по свойству 1)m_X, и по свойству 4) m_X , то по теореме Леви к случайной последовательности

применима ЦПТ.

7) при , где СВ U₂ имеет распределение N(0; 1). Данное свойство доказывается аналогично доказательству свойства 6) m_X.

Из первого свойства вытекает, что математические ожидания (МО) выборочных начальных моментов совпадают с соответствую­щими значениями начальных моментов СВ X, т.е. в этом смысле обладают свойством «несмещенности». А МО выборочной дисперсии d_X не совпадает с дисперсией d_X СВ X, т. е. в этом смысле СВ d_X является «смещенной» выборочной характеристикой d_X . Поэтому часто вместо d_X используют « исправленную» выборочную дисперсию

, для которой

5. Метод наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной погрешностью.

Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода:

2=min,

где Y – теоретическое значение измеряемой величины, y – экспериментальное.

При этом полученные с помощью МНК параметры модели являются наиболее вероятными.

Кривой регрессии Y по X (или Y по X) называется условное среднее значение случайной переменной Y (Х), рассматриваемой как функция от x (у). Эта функция обладает одним замечательным свойством: она даёт наименьшую среднюю погрешность оценки.

Практическая часть.

Список литературы

1. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. – М.: Физматлит, 2005 г.

1. Кочетков Е.С. Метод наименьших квадратов. – М.: Изд-во МАИ, 1993 г.

1. Болдин М.В., Горяинова Е.Р., Панков А.Р., Тарасова С.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Лабораторные работы. – М.: Изд-во МАИ, 1992

1. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. «Теория вероятностей». – М.: Наука, 1983

1. Пугачёв В.С. «Теория вероятностей и математическая статистика». – М.: Наука, 1979

24

Характеристики

Список файлов домашнего задания