– 43 –

минитерство общего и профессионального образования российской федерации

–––––––––

Московский государственный авиационный институт (технический университет)

Ю.В. Кузнецов в.в. голованов

Временной и частотный анализ линейных цепей

Учебное пособие

Утверждено

на заседании редсовета

14 декабря 1998 г.

Москва, 1998

Кузнецов Ю.В., Голованов В.В. Временной и частотный анализ линейных цепей: Учеб. пособие.

Учебное пособие предназначено для студентов радиотехнических специальностей при изучении ими методов анализа линейных радиоэлектронных цепей в рамках дисциплины «Радиотехнические цепи и сигналы». Даны основные теоретические соотношения и методика составления и решения динамических уравнений, описывающих линейную цепь, а также рекомендации по использованию преобразования Лапласа для анализа линейных цепей. На примере анализа конкретной цепи показана методика выполнения расчетно-графической работы. Приведены указания по выполнению лабораторных работ в рамках темы «Частотные и временные характеристики линейных цепей».

1. Постановка задачи

Под анализом радиоэлектронной цепи понимается определение реакции y(t) цепи при заданном воздействии {x₁(t), x₂(t), …, x_М(t)}, структуре цепи и ее начальном состоянии {₁(0), ₂(0), _N(0)} (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Реакция y(t) – это временная функция тока или напряжения на заданном участке цепи, называемом выходом. Воздействиями являются внешние независимые источники тока и (или) напряжения, генерирующие заданные временные функции и подключаемые к определенным точкам цепи, которые называются входами. Структура линейной цепи представляет собой совокупность соединенных между собой линейных элементов цепи, в качестве которых в данной расчетно-графической работе (РГР) используются сопротивления R, индуктивности L и емкости С. Начальным состоянием цепи является совокупность значений переменных состояния в нулевой момент времени _j(0), которыми в данном случае будут токи через индуктивности и напряжения на емкостях цепи.

Решение задачи анализа радиоэлектронной цепи проводится различными методами, которые можно разделить на временные и частотные. Особенностью временных методов является то, что в процессе анализа все воздействия и реакции описываются функциями времени, а линейная цепь задается динамическими уравнениями, которые представляют собой математическую модель взаимодействия токов и напряжений в элементах цепи. Здесь будут рассмотрены методики составления динамических уравнений, связывающих временные функции воздействий и реакции, а также процедуры их решения, т.е. определения реакции в явном виде.

Частотные методы анализа обязательно включают преобразование временных функций в частотную область x_i(t)  X_i(p), при этом линейная цепь также описывается своим эквивалентом в области частоты, а найденная реакция требует обратного преобразования в функцию времени y(t)  Y(p). В качестве частотного преобразования в данной РГР используется одностороннее преобразование Лапласа (ОПЛ), а линейная цепь характеризуется системными функциями H_i(p), связывающими ОПЛ реакции Y(p) с ОПЛ воздействий Х_i(p) и начальных состояний линейной цепи _j(0)/p.

2. Составление динамических уравнений методом
узловых напряжений

Пусть задана цепь второго порядка, изображенная на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Воздействиями являются источник напряжения e(t) и источник тока i(t), а искомой реакцией – ток через индуктивность i_L(t). Задано также начальное состояние: напряжение на емкости V_C0 и ток через индуктивность
i_L(0) = I_L0 в нулевой момент времени. Требуется составить дифференциальное уравнение (ДУ) «вход – выход» методом узловых напряжений.

1. Определим опорный узел. В принципе можно выбрать любой из четырех узлов схемы в качестве опорного, но для упрощения задачи анализа лучше взять узел, в котором сходится наибольшее число ветвей и (или) источников напряжения. В данном примере это узел «0».

2. Выбираем узловые напряжения. Из трех оставшихся узлов только два могут быть выбраны для обозначения узловых напряжений. Это узлы «2» и «3», напряжения на которых относительно опорного узла обозначены V_C(t) и V_L(t) соответственно. Напряжение узла «1» не обозначается в качестве узлового напряжения, поскольку оно известно и равно e(t).

3. Записываем узловые уравнения, представляющие собой сумму токов, вытекающих из узлов, выбранных в п. 2, причем токи необходимо выразить через введенные узловые напряжения и внешние источники. Для узла «2» уравнение имеет вид:

. (2.1)

Для узла «3» узловое уравнение запишется в виде:

. (2.2)

1. Для получения ДУ «вход – выход» можно воспользоваться таким приемом: провести преобразование Лапласа над узловыми уравнениями, проделать алгебраические преобразования, а затем сделать обратное преобразование Лапласа, вернувшись во временную область к исходному ДУ «вход – выход». Но сначала нужно выразить искомую реакцию (выход) через узловые напряжения. В нашем примере

. (2.3)

Поскольку преобразование Лапласа используется в данном случае с целью получения ДУ, начальные условия можно принять равными нулю.

В результате преобразования Лапласа получим систему алгебраических уравнений

(2.4)

Здесь использована теорема о преобразовании Лапласа производной и интеграла функции времени при нулевых начальных условиях:

(2.5)

Решая систему с помощью правила Крамера, получим

(2.6)

Подставив полученные выражения в соотношение для преобразования Лапласа искомой реакции, после алгебраических преобразований получим

(2.7)

Умножив I_L(p) на знаменатель этой функции и проведя обратное преобразование Лапласа, получим искомое ДУ «вход – выход»:

(2.8)

3. Составление динамических уравнений методом
переменных состояния

Составим ДУ «вход – выход» для цепи, приведенной на рис. 2.1, методом переменных состояния.

1. Вместо емкости вводим источник напряжения V_C(t), а индуктивность заменяем источником тока i_L(t). Эквивалентность такой замены базируется на известной теореме замещения. В результате получим эквивалентную схему (рис. 3.1).

Рис. 3.1

1. Любым известным методом находим ток i_С(t) через введенный источник напряжения V_C(t) и напряжение V_L(t) на введенном в п. 1 источнике тока i_L(t). Направления указанных токов и напряжений необходимо обозначить на схеме (рис. 3.1).

Например, V_L(t) можно найти, записав закон Кирхгофа для токов, вытекающих из узла «2». При этом учтем, что напряжение узла «1» относительно опорного узла «0» равно напряжению источника V_С(t):

. (3.1)

Теперь искомый ток i_С(t) можно определить как сумму токов, втекающих в узел «1» через R₁ и R₂:

(3.2)

В результате получим систему уравнений, которую принято записывать в упорядоченном виде:

(3.3)

1. Учитывая связь между током и напряжением в емкости и индуктивности, заменяем в левой части системы уравнений и . Разделив первое уравнение системы на L, а второе на С, окончательно получим систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и внешних воздействий в форме Коши:

(3.4)

1. Дальнейшее решение системы ДУ возможно в матричной форме. В нашем случае, когда требуется составить ДУ «вход – выход» относительно i_L(t) можно воспользоваться методом преобразования Лапласа, рассмотренном в рамках метода узловых напряжений. В результате получим систему алгебраических уравнений:

(3.5)

Решая систему относительно I_L(p) по правилу Крамера, получим

(3.6)

После алгебраических преобразований в числителе и знаменателе получим

(3.7)

что в точности совпадает с аналогичным выражением (2.7), полученным методом узловых напряжений. Дальнейший переход к ДУ «вход – выход» проводится с помощью обратного преобразования Лапласа и дает идентичное ДУ второго порядка (2.8).

4. решение дифференциального уравнения
«вход – выход»

ДУ «вход – выход» в неявном виде определяет связь между искомой реакцией и внешними воздействиями. Нахождение решения ДУ заключается в получении явного выражения реакции как функции времени. Для определения реакции необходимо задать внешние воздействия в виде функций времени, имеющих начало. Не для всякой функции времени можно найти решение в явном виде, но если воздействие является, например, односторонней экспонентой с началом в нулевой момент времени или суммой таких экспонент, то решение найти можно. В качестве показателей этих экспонент можно использовать любые действительные и комплексные числа. Кроме того, для нахождения решения нужно знать начальное состояние цепи, например, независимые начальные условия, т.е. значения переменных состояния цепи в нулевой момент времени.

Для конкретности вернемся к цепи, изображенной на рис. 2.1, и приступим к решению ДУ «вход – выход».

4.1. Свободное решение ДУ «вход – выход»

Определение свободного решения i_Lс(t) проводится для однородного ДУ, которое получается из ДУ «вход – выход» путем обнуления внешних воздействий: e(t) = 0 и i(t) = 0. В результате получим

(4.1)

где

Решение однородного ДУ начинается с составления характеристического уравнения, получаемого из дифференциального заменой

(4.2)

Решениями составленного характеристического уравнения являются собственные частоты линейной цепи:

. (4.3)

В зависимости от соотношения между ₀ и ₀ получается пара собственных частот (СЧ), характерная для той или иной радиоэлектронной цепи.

а) ₀  ₀, собственные частоты являются действительными и отрицательными числами р₁ и р₂. Они изображаются крестиками на действительной оси комплексной р-плоскости (рис. 4.1 а). В случае равенства ₀ = ₀ собственные частоты вырождаются в одну кратную СЧ р = – ₀ (рис. 4.1 б).

а) б)