Лекции по ТФКП, страница 2

, таким образом разность между функциями меньше любого, сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Замечание. Функция заданная на контуре Г, однозначно определена в любой точке, лежащей внутри Г.

Теорема.(для многосвязной области) Если G - многосвязная область, ограниченная контурами Г и , С – граница G, С= , -аналитическая функция в G и на С, то .

Док-во:

1)Покроем границу окрестностями ее точек, выделим конечное подпокрытие, расширим область аналитичности. Разрежем G по получим односвязную облость.

Г

2) По теореме для односвязной области

.

Интеграл с переменным верхним пределом от аналитической функции

Лемма. Если -непрерывная функция в области G, , не зависит от выбора контура, соединяющего точки и z, то .

Док-во:

z z+h

,

Теорема. Если -аналитическая функция в области G, , то .

Док-во:

-аналитическая функция непрерывна, интеграл независит от контура условия леммы выполнены. .

Утв. - аналитическая функция, , то .

Док-во:

Формула Ньютона-Лебница

Утв. Если f(z) аналитическая в некоторой области, , то .

Док-во:

;

Интеграл типа Коши

Теорема. Если L – конечный контур, z L, , , f(z) непрерывная функция на L, , то является аналитической в точке z, .

Док-во:

-длина L.

Таким образом, разность между функциями меньше любого сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Замечание. Продифференцировав F(z) по z, мы получили бы тот же результат, что и в теореме, но с меньшими усилиями. Однако мы не имеем права дифференцировать функцию комплексного переменного по параметру.

Следствие. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.

Таким образом аналитическая функция бесконечное число раз дифференцируема и производная аналитической функции выражается через интеграл.

Теорема Морера. Если непрерывна в области G, , не зависит от выбора контура, соединяющего точки и z, то -аналитическая функция в области G.

Док-во:

по лемме , т.е. f(z) бесконечное число раз дифференцируема f(z) аналитическая.

Лекция 6

Ряды функций комплексного переменного

Опр.

1. Ряд называется равномерно сходящимся в области Q, если:

, ,

1. Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Теорема Вейерштрасса.

Если G- связная область, -аналитические в G,

- ряд, равномерно сходящийся к в G, то

1. f(z) аналитическая в G,

2. замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:

.

Док-во:

1. Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г ,

Тогда: ;

;

; ;

;

;

;

перейдя к пределу, получим:

, таким образом f(z) аналитическая функция.

2) Возьмем контур , такой что внутри .

Г

z .

Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .

внутри .

Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .

, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .

Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .

Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.

Утв. Если , то аналитическая в круге радиуса R.

Док-во:

В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.

Ряд Тейлора

Теорема. Если -аналитическая в круге , то , радиус сходимости ряда не меньше R.

Док-во:

z

R

Г

;

Это верно, когда .

.

Функциональный ряд * мажорируется сходящимся числовым рядом , таким образом ряд * сходится равномерно его можно интегрировать почленно.

;

Утв. Если сходится при , то на окружности радиуса R есть особые точки.

Док-во:

Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.

Покроем окружность системой окрестностей ее точек, расширим область аналитичности. Тогда существует окружность радиуса , внутри которой функция аналитическая, следовательно ряд сходится в круге радиуса -не радиус сходимости, и мы приходим к противоречию.

Опр1. Точка называется нулем функции , если аналитическая в точке и .

Опр2. Точка называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:

Пример.

- нуль функции

, таким образом точка z=0-нуль кратности 3.

Лемма. Если , аналитические в точке , лежит в области аналитичности f и , , при , то в некоторой окрестности точки .

Док-во:

при

при

и т.д.

, следовательно .

Теорема. задана на последовательности точек , - аналитическая, то определяется значениями единственным образом во всей своей области определения.

Док-во:

Пусть и аналитические и совпадают . Докажем, что они совпадают всюду. Применим Лемму к точке : в некоторой окружности с центром и совпадают. Возьмем точку пересечения этой окружности с ломаной - . . К точке также применяем Лемму.

Д алее строим следующую окружность. Таким образом за конечное число шагов

мы дойдем до точки z и

совпадают в z и .

Z

Оценки Коши коэффициентов ряда Тэйлора

Теорема. Если , , то .

Док-во:

.

Теорема Ляувилля. Если аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то =const.

Док-во:

, ,

;

.

Лекция 7

Основная теорема алгебры

Теорема. Если , , то уравнение имеет по крайней мере один корень.

Док-во:

(т.е. вне круга радиуса М )

Предположим, что не имеет корней, тогда ограничена в круге и аналитическая на всей плоскости. Таким образом по теореме Ляувилля , следовательно мы пришли к противоречию.

Ряд Лорана

Теорема. - аналитическая в кольце с центром , то ее можно представить в виде ряда Ларана.

Док-во:

Г

Выберем точку z внутри кольца и окружности и Г (тоже внутри кольца), так чтобы точка z лежала между ними.

1.

2.

Ряд мажорируется рядом Он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.

Если контур С лежит между и Г, то интеграл по С равен интегралу по , т.к. между и С функция аналитическая.

Опр. В ряде Лорана первая сумма называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью.

Следствие1. Правильная часть сходится в круге , а главная часть вне круга радиуса r (т.е. при )

Следствие2. Из доказательства теоремы вытекает, что ряд Лорана находится единственным образом.

Пример1.

-2 0 2

;

Первое слагаемое сходится при , т.е. , т.е. вне малой окружности.

Второе слагаемое сходится при , , т.е. внутри большой окружности.

Таким образом получен ряд Лорана в кольце .

П ример2.

0 2

;

Первое слагаемое сходится при .

Опр. Ряд в области называется рядом в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Утв. Если - аналитическая в окрестности -изолированная особая точка, то в окрестности :

.

Док-во:

,

;

Особые точки функций комплексного переменного

Опр. Особой точкой функции называется точка в которой не определена или не дифференцируема.

Опр. Особая точка называется изолированной, если такая ее окрестность, в которой нет других особых точек.

Утв. Если - изолированная особая точка , то в окрестности , раскладывается в ряд Лорана.

Классификация особых точек

Опр1. Особая точка называется устранимой, если в ряде Лорана в окрестности этой точки отсутствует главная часть.

Опр2. Изолированная особая точка называется полюсом, если главная часть ряда Лорана в окрестности этой точки имеет конечное число членов:

Число N называется кратностью (порядком полюса).

Утв. Если - полюс , то .

Док-во:

Опр3. Изолированная особая точка называется существенно особой, если главная часть разложения в ряд Лорана в окрестности этой точки содержит бесконечное число членов.

Лекция 8