Лекции по ТФКП

ЛЕКЦИИ

по

Теории Функций Комплексного Переменного

Автор: Каменский А.Г.

Набор: Шатов А.Н.

e-mail: nclog@bk.ru

2003г.

Лекция №1

Комплексные числа

Опр. x+iy – комплексное число, где x,y – действительные числа, i – мнимая единица.

;

Опр. Комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел: z=(a,b).

Пусть =(a,b); =(c, d);

+ =(a+c, b+d);

g = (ga, gb), где g – действительное число;

=(ac-bd, ad+bc);

(0,1)=i;

(0,1)(0,1)=(-1,0);

z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+iy;

;

y

(x,y)

x

|z| = = r;

arg z= = arctg - аргумент комплексного числа;

Arg z = + 2 - главный аргумент;

z = r(cos + i*sin )= r ;

= cos + i*sin - формула Эллера.

= +i = (cos +i*sin );

= +i = (cos +i*sin );

= (cos( + )+i*sin( + ));

= (cos n +sin n );

(cos + i*sin ), k=0,1,…,n-1;

= x-iy

z =|z = ;

Топология комплексной плоскости

Опр. - расстояние между числами .

Опр. -окрестностью z называется множество всех таких точек :

Опр. = w

Опр. Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Опр. Множество называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему с некоторой ее окрестностью.

Опр. Множество называется связанным, если всякие его две точки можно соединить ломанной с конечным числом звеньев, целиком принадлежащих этому множеству.

Опр. Открытое связанное множество называется областью.

Опр. Множество называется односвязанным, если оно ограничено одной несамопересекающейся замкнутой кривой и оно связанное.

Опр. Множество называется двусвязанным, если оно ограничено двумя несамопересекающейся замкнутыми кривыми и оно связанное.

Функции комплексного переменного

Опр. Если даны множества М и G на комплексной плоскости и каждому z из M соответствует w из G, то говорят, что функция .

Опр. ;

Опр. (1) - степенной ряд.

Утв. Ряд (1) сходится внутри круга и расходится вне его. При он сходится равномерно.

Некоторые разложения:

;

;

;

Докажем формулу Эллера:

= cos + i*sin

;

;

-доказывается умножением рядов.

;

;

Периодичность функции :

;

Опр. = , если

Опр. Множество точек z: называется окрестностью бесконечно удаленной точки.

Лекция 2

Дифференцируемость функций комплексного переменного

Опр. , если этот lim и не зависит от того, как стремится к нулю.

Если z=z+iz, то

Теорема. Если дифференцируема в точке z и ,то в точке z выполняются условия Коши-Римана:

Док-во:

Y z+

z z+

X

;

;

.

Теорема. Если u и v дифференцируемые функции в точке z и для них выполнены условия Коши-Римана, то w=u+iv будет дифференцируемой в точке z.

;

;

;

Опр. Функция f(z) наз. Аналитической в точке z, если она дифференцируема в точке z и в некоторой ее окрестности.

Пример.

условия Коши-Римана выполняются

Восстановление аналитической функции по ее действительной (мнимой) части.

Опр. Функция называется гармонической в области G, если в этой области выполняются условие:

Утв. Если функция аналитическая, то ее действительная и мнимая части – гармонические функции.

Док-во:

;

;

т.к. , складывая эти равенства, получаем , т.е.

u – гармоническая функция. Аналогично v - гармоническая функция.

Доказано.

Пример.

Опр. Функция f(z) называется однолистной в области G, если:

Пример.

- не однолистная на всей плоскости

- однолистная в области

Поверхности Римана

1.

z х W v

- +

- -

+

y u

+

Разрежем плоскость W по лучу Ох. Верхний край первой плоскости соединим с нижним краем второй, верхний край второй соединим с нижним краем третей и т.д. до n. Верхний край n-ой плоскости склеим с нижним краем первой. Получим поверхность Римана для функции .

2 .

y + v

-

+

+

x u -

Лекция 3

Конформные отображения

Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.

Теорема. Если аналитическая функция в области G в G, то задает конформное отображение области G.

Док-во:

y v

w

z

x u

; ;

; ;

- постоянство растяжений.

- консерватизм углов.

Доказано.

1. Линейная функция.

1) - параллельный перенос.

2)

При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.

2. Дробно-линейная функция.

, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции .

Опр. Обобщенная окружность:

, т.е. это окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Док-во:

- обобщенная окружность.

Опр. Точки B и С - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность , проходящая через эти точки, ортогональна Г.

Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то .

Утв. Если дробно – линейное отображение, то переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.

Z W

А С

В

O

;

, т.е. сопряженными являются точки 0 и .

Примеры решения задач:

Задача 1.

Отобразить полуокружность в единичный круг.

Z W

-1 1

Решение:

и сопряженные относительно Ох, т.е. действительная ось отображается в окружность.

;

- искомое отображение.

Задача 2.

Отобразить отрезок в единичный круг.

Z

3i

i

Решение:

- отобразить отрезок в ;

;

;

;

Задача 3.

Отобразить полосу в единичный круг.

1. 2

Решение:

;

;

;

;

;

;

Функция Жуковского

;

;

;

,

1) - эллипс

2)

- функция, обратная функции Жуковского.

Теорема Римана

Если G – односвязная область, граница которой состоит более чем из одной точки, то существует аналитическая функция, задающая конформное отображение G на единичный круг.

Лекция 4

Интеграл функции комплексного переменного

Пусть на комплексной плоскости задана кривая L - кусочногладкая, конечная, ориентированная.

;

Опр. - некоторая функция

, где .

Существование интеграла и методы его вычисления.

Утв1. Если ; u и v – непрерывные функции; дуга L – кусочно гладкая, то соответствующие криволинейные интегралы и .

Док-во:

Утв2. Если , u и v – непрерывные, дуга L – кусочно гладкая, то .

Док-во:

По Утв1

;

;

.

Свойства интеграла

1.

2.

3.

4. , где -L – обход дуги L в обратную сторону.

5. Если , то , где -длина L.

Док-во:

длина хорды.

Замечание. Криволинейный интеграл существенно зависит от кривой.

Утв. .

Док-во:

.

След.

Утв. где

Док-во:

( )

Основная теорема Коши для односвязаной области

Если G – односвязная область, - аналитическая внутри G. Г – замкнутый контур, лежащий внутри G, то

Док-во:

G

Г

Из Утв1. (1)

Из теории криволинейного интеграла известно, что

если , (2)

то (3)

т.к. f – аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана:

в силу (2) и (3) из (1) следует, что

След. Если дуги и соединяют точки А и В и, при этом дуга обходится в направлении от А к В, а дуга обходится в направлении от В к А, то

Док-во:

.

Зам. Для аналитической функции важны лишь начало и конец дуги.

Основная теорема Коши для многосвязной облости

Теорема. Если G – многосвязаная область, связанная некоторыми контурами, - аналитическая функция в G и на границе G, то интеграл по границе области G, проходимой по следующему правилу: при прохождении контура непосредственно примыкающая к нему область должна находится по левую руку (Г проходится по часовой стрелке, а -по стрелке) равен нул ю.

G

Док-во:

1) - аналитическая функция на границе, следовательно - аналитическая в каждой точке границы - аналитическая в каждой точке границы и в некоторой ее окрестности. Покроем границу окрестностями ее точек. Т.к. граница – компакт, то можно выделить конечное подпокрытие. Расширим область аналитичности, используя это покрытие граница погружена в область аналитичности.

2) Разрежем область G по - получим односвязную облость. Граница области G и линия разреза(граница новой области) лежат в области аналитичности функции .

3)

След. Если лежит внутри Г, - аналитическая в области между Г и и на них, то

Док-во:

Лекция 5

Интегральная формула Коши

Теорема. Если -аналитическая функция в G, G – односвязная область,

Г- замкнутый контур, лежащий внутри G, z лежит внутри G, z лежит внутри Г, то .

Док-во:

Пусть -окружность .

1) -функция аналитическая между Г и .

2) умножим на и разделим на 2

.

3)