Министерство образования Республики Беларусь

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математические предложения и методика их изучения

Исполнитель:

Студентка группы М-31

Селиканова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

Лебедева М.Т.

Гомель 2007

Введение

Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”

В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.

1. Суждение, умозаключение, высказывание

Суждение – это такая форма мышления, в которой отражается наличие или отсутствие самого объекта, наличие или отсутствие его свойств, связей.

Суждение – это форма связей понятий друг с другом, которая обладает двумя свойствами: 1) что-либо утверждает или отрицает; 2) является или истинным, или ложным.

Например: 1) любой параллелограмм есть ромб – ложно; 2) любой ромб есть параллелограмм – истинно; 3) “ есть функция” – суждение выражает связь понятий по объёму, т.е. - составная часть класса функций; вместе с тем ей присуще всё то, что свойственно функциям; 4) многочлен непрерывен при всех значениях независимой переменной – истинно.

Каждая наука есть определенная система суждений об объектах , являющихся предметом ее изучения.

Например: "Сумма углов каждого треугольника равна 180 градусов" – это суждение сформулировано в виде геометрического предложения, принадлежащего евклидовой геометрии , т. к. а) состоит из геометрических (сумма углов, треугольник 180 градусов) и логических (всякого, равна) терминов или символов; б) истинно т.к. доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Суждения образуются в мышлении 2 способами: непосредственно и опосредовано.

Например: 1. Эта фигура – круг - суждения выражает результат восприятия.

2. x²=-2 – не имеет действительных корней суждений опосредованное, оно возникло в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением.

Умозаключение – процесс получения нового суждения – вывода из одного или нескольких данных суждений.

Например:

1. x²=-2 – уравнение;

2. квадрат действительного числа больше или равен нулю;

3. корень обращает уравнение в верное числовое равенство.

Из этих трех суждений получаем новое: уравнение x²=-2 не имеет действительных корней.

В математической логике используют термин “высказывание”, имеющий смысл, близкий к понятию “суждение”. Под высказываниями производятся следующие операции: а) отрицание высказывания; б) конъюнкция; в) дизъюнкция; г) импликация.

Математическая логика, исходя из основных законов формальной логики, исследует закономерности логических процессов на основе применения математических методов.

Для нее характерна формализация логических операций, полное абстрагирование от конкретного содержания предложений.

Например: (все растения красные)(все собаки – растения) =>(все собаки красные).

2. Основные виды математических предложений

Математическое суждение принято называть предложением.

Например: “S есть P” - S - логическое подлежащее или субъект мысли (то, о чем идет речь в предложении); Р – логическое сказуемое или предикат мысли. Суждения часто даются в условной форме: “если есть А, то есть и В”.

Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие. Например:

Элементарные предложения:

дан АВС; (x) АВ=ВС; (y) АД=ДС; (z) ВД ДС.

Составные предложения:

1. Если АВ=ВС и АД=ДС, то ВД ДС – истинное.

2. Если АВ=ВС, то АД=ДС и ВД ДС – ложное.А

3. Если ДВ=ВС и ВД не перпендикулярно АС,

то АД ДС – истинное.

Логические структуры для 1. и 3. выглядят так: 1) Если x и y, то z. 3) Если x и не z, то не y.

Например:

1. Если число целое и положительное, то оно натуральное;

2. Если число целое и не натуральное, то оно не положительное.

Аксиома – предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая аксиома принимается без доказательства.

Постулат – это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями.

Например, понятие а||b определяется двумя постулатами:

1. (a ) (b );

2. (a=b) (a b=0).

Теорема – математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), логического следствия других предложений, принимаемых за достоверные.

Можно отметить два подхода к пониманию теоремы:

А.В. Погорелов (геометрия “7-11”) “Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливал путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. … Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы”.

Структура теоремы, предполагаемая В.П. Болтянским: а) разъяснительная часть; б) условие; в) заключение.

Например, “если сумма цифр числа n делится на 3, то само число n делится на 3”.

Условие: сумма цифр числа n делится на 3

Заключение: само число делится на 3.

Разъяснительная часть: n – любое натуральное число.

Используя логическую символику, теорема представляется так:

- импликация (если …, то …).

Имея прямую теорему ( ), можно образовать новые теоремы:

1. - обратная;

2. - противоположная;

3. -обратная противоположной или контрапозитивная.

Эти теоремы обладают следующими свойствами:

а) ( ) и ( ) - одновременно истинны или ложны;

б) ( ) и ( ) - одновременно истинны или ложны.

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация ( ) есть истинное следствие. Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.

p – четное число, q – число кратно 6. ( ) – и.

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация ( ) есть истинное следствие. Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) (pq)

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pq) и (qp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)

Пример необходимого и достаточного условия:

3 Методика изучения теорем

Процесс доказательства теорем и геометрии выражает связь единичных суждений (чертеж) и общих (использование общих свойств фигур) поэтому при обучении доказательствам для формирования правильного представления о проблематичном характере того или иного суждения следует применять на каждом шаге вопросы “Почему?”, “На каком основании?”

В курсе планиметрии обучение доказательствам проводится конкретно-индуктивным методом. Так как ученики в курсе геометрии, по мнению Шохор-Троцкого, занимаются преимущественно решением задач. Теоремы они доказывают только такие, которые не принадлежат к числу очевидных для них и которые не требуют слишком тонких рассуждений. Поэтому целесообразно в некоторых случаях предлагать учащимся для решения задачи абстрактного характера, подготавливающие самостоятельное формирование или доказательство теорем.

Например: установить зависимость между сторонами в треугольнике; или свойства биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника эмпирически.