Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В процессе обучения у школьников должно быть сформировано следующее понимание термина “доказательство”:

1)допускаются истинными некоторые отношения и факты (которые составляют условие теорем);

2)от условия к заключению строится логическая последовательная цепочка предложений, каждое из них должно быть обосновано с помощью суждений, выраженных в условии, определений известных понятий, аксиом или ранее доказанных утверждений;

3)заключение является последним звеном в цепочке этих логически расположенных предложений.

Например: в курсе математики 5-6 классов этому способствуют задачи с таким содержанием: “Дополнить приведённое доказательство математических утверждений, выполняя указанные выше требования, предъявляемые к математическим доказательствам”.

“Если a:b=c, то a=bc. Доказать”

Условие: a:b=c. Заключение: a=bc.

В школьном обучении некоторые фрагменты математической теории излагаются содержательно (неформально), поэтому доказательство также содержательны, т.е. в них используются обычные рассуждения, а правила логического вывода не фиксируются. Среди таких правил можно выделить:

1)правило заключения: P; “если P, то Q” - вывод: “Q”.

2)правило введения конъюнкции: P; Q – вывод “P и Q”.

3)правило силлогизма: “если P, то Q”; “если Q, то R” - вывод “если P, то R”.

4)правило отрицания: “если A, то B”, “не B” - вывод “не А”.

5)правило контрапозиции: “если A, то B” - вывод “если не B, то не A”.

6)правило расширенной контрапозиции: “если A и B, то C” - вывод “если A и не С, то не B”.

7)Сведение к абсурду – “если Г, А=>B”, “Г, А=>не B” - вывод “Г=> не А”, где Г – список посылок.

Правило контрапозиции и сведение к абсурду широко применяется в косвенных доказательствах, примером которого может служить доказательство от противного.

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходит из отрицания Т, называемого допущением косвенного доказательства и выводят из него ложное заключение применением правила сведения к абсурду.

Например: если а||с, и b||с, то a||b. Допущение: a||c и b||c, но a не|| b. Согласно определению параллельных прямых получаем: если a не|| b => с (са сb), поэтому по правилу введения конъюнкции: из а||c и b||c. с (са сb) имеем: a||c и b||c и с (са сb). Но по аксиоме параллельных прямых (из Т) неверно, что: a||c и b||c и с (са сb), т.е. из наших допущений вывели противоречие, которое и доказывает теорему.

Специальные формы косвенного доказательства:

1)доказательство методом исключения: надо доказать предложение: “если B, то Q₁”, иначе: Г, Р=>Q₁: наряду с Q₁ рассматриваются все остальные возможности, которые являются: аксиомой, определением, ранее доказанной теоремой или следствием из них. Затем доказывается, что каждая из остальных возможностей, кроме Q₁, ведёт к противоречию.

Например: если каждая плоскость, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то эти прямые параллельны.

Требуется установить следование: “Г,Р” Q не ||; “Г” и (если a, b) a||b.

Исходим из предложений: Q₁:a||b; Q₂:ab; Q₃: a-b – скрещиваются.

Допущение Q₂:ab даёт (a и ) (достаточно провести произвольную плоскость α через b, отличную от плоскости определяемой пересекающимися прямыми a и b) или: так как (a и ) не для всякой плоскости (если a, то b), получаем “если Q₂, то ”: если ab, то не для всякой если a, то b).

Из “если Q₂, то ” и “Р” по правилу отрицания имеем: : .

Аналогично допущение Q₃: “a-b скрещиваются” приводит к не любой плоскости (если a, то b) (достаточно через b и какую-нибудь точку прямой a провести плоскость). Получаем из: “если Q₃, то ” и “Р” по правилу отрицания : .

Итак, получаем и, т. е. Q₂ и Q₃ – неверно, поэтому верно Q₁: a||b.

2)Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяемый к предложениям типа: “xN P(x)”, т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство, присущее любому натуральному числу.

Схематически полная логическое доказательство теоремы можно составить так: 1) точное понятие; 2) включаем все посылки; 3) не опускают никаких промежуточных рассуждений; 4) явно указывающее правила вывода.

В практике школьного обучения математики наиболее часто используется прямое доказательство, основанное на содержательном доказательстве в свернутом виде: 1) интуитивное понятие; 2) опускают некоторые в частности, общие посылки; 3) опускают отдельные шаги; 4) не фиксируют использование логики.

Например: Диагонали прямоугольника равны.

Теорему можно доказать: а) с помощью осевой симметрии; б) с помощью равенства прямоугольников. Отметим, что различные доказательства теоремы отличаются как математическими посылками, (используемыми в них истинными предложениями данной теории), так и логикой (используемыми правилами).

Доказательство 1.

“Если четырёхугольник – прямоугольник, то его диагонали равны” или “Если ABCD – прямоугольник, то AC=BD”.

Точка D симметрична A; B – симметрична C относительно MN (это непосредственно следует из ранее доказанной теоремы: “Серединный перпендикуляр и сторона прямоугольника являются осью симметрии). Значит, отрезок AC и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому AC=BD.

Доказательство 2.

, т.к. они прямоугольные ( ), AB=CD как противоположные стороны прямоугольника; AD – общая сторона. Следовательно, AB=CD.

Методика введения теорем предполагает подготовку учащихся к восприятию ее доказательства.

1) Для того, чтобы учащиеся поняли логические части доказательства, применяют метод целесообразных задач.

Например: При доказательстве того факта, что угол между боковым ребром призмы и ее высотой равен углу между плоскостями основания и перпендикулярного сечения, необходимого предварительно решить по готовым чертежам следующие задачи:

1. По данным на рисунке найти и угол между прямыми BO и OC.

Замечание: угол между двумя прямыми (двумя плоскостями) острый.

2. Угол между плоскостями и равен , прямая OA перпендикулярна плоскости , ; прямая OB перпендикулярна плоскости , . Найти угол между прямыми OA и OB.

2) Для подготовки учащихся к восприятию доказательства теоремы можно использовать прием многократного доказательства (например, тройная прокрутка).

а) учитель излагает схему (идею, канву) доказательства. Возможно, при этом использование эвристической беседы, которая может быть или анаError: Reference source not foundлитико-синтетический или синтетический. Вопросы должны быть сформулированы четко, отражая наиболее важные логические этапы доказательства. После каждого вопроса необходима пауза для того, чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти ответ:

б) учитель излагает доказательство теоремы в виде краткого рассказа, обосновывая каждый шаг;

в) повторение доказательства в полном объеме.

Еще один прием обучения доказательством – обучение учащихся составленного плана доказательства теоремы, при котором выполняются следующие этапы:

• даётся готовый план доказательства новой теоремы и учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана. Преимущества: 1) план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных задач, которые учащиеся могут решить; 2) у учащихся появляется уверенность в том, что они смогут доказать новую теорему; 3) план позволяет охватить все доказательство в целом, у учащихся возникает чувство полного понимания;

• учащихся учат составлять план уже изученной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно.

Заключение

Раскрыть логическую структуру составного предложения, – значит, показать, из каких элементарных предложений сконструировано данное составное предложение и как оно составлено из них, т.е. с помощью каких и в каком порядке применяемых логических связок “не”, “и”, “или”, “если…,то…”, “тогда, и только тогда”, “для всякого”, “существует”, обозначающих логические операции, с помощью которых из одних предложений образуются другие.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.

2. Н.М. Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.

3. Г. Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.

4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.

5. Ю.М. Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.

6. А.А. Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.

Характеристики

Список файлов реферата