111927 (Проблемы русской национальной школы и изучения русской математики), страница 3

1) j * 2;

2) j * 2 + 5;

3) ( j * 2 + 5 ) * 5;

4) ( ( j * 2 + 5 ) * 5 ) ) * 10;

так как умножение числа на 10 равносильно приписыванию нуля в

конце этого числа, но (( j * 2 + 5) * 5)*10 = 100 * j + 250.

Вычитая из этого числа 250, получаем 100 * j,

где j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - есть номер задуманного числа

12. Д В Е Н А Д Ц А Т Ь Ч Е Л О В Е К.

Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина - по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

РЕШЕНИЕ: подумаем, как могут распределиться 12 хлебов между мужчинами, женщинами и детьми, попробуем мысленно распределить хлеба между ними, сначала дадим всем по половине хлеба, при этом будет роздано 6 хлебов, чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить между мужчин, каждо­му мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба, шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по два хлеба, отсюда следует, что мужчин не менее 5, иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести, но если бы мужчин было 6, то они сами несли бы весь хлеб, а женщинам и детям ничего бы не осталось, итак, имеет­ся всего 5 мужчин, поэтому мужчине до его нормы не хватает полто­ра хлеба, и именно эти полтора хлеба нужно собрать по четверти у каждого из детей. Так как полтора хлеба состоят из шести четвер­тей, то детей имеется всего шестеро и, значит, количество женщин равно 12 - 5 - 6 = 1. Следовательно,хлеба несли 5 мужчин, одна женщина и 6 детей.

. Д В А В О И Н А.

Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно и шел так: в первый день прошел 1 верс­ту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвертый день 4 версты, в пятый день 5 верст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого, через сколько дней вто­рой воин настигнет первого?

РЕШЕНИЕ: В первый день второй воин отстает на 12 - 1 = 11 верст, во второй еще на 12 - 2 = 10 верст, в третий еще на 12 - 3 = 9 верст и так далее, на двенадцатый день отставание составит ( 11 + 10 + 9 +...+ 2 + 1 + 0 ) верст, а затем расстояние между ни­ми начнет сокращаться, в 13-й день на 1 версту 13 - 12 = 1, в 14-й день еще на 14 - 12 = 2 версты, в 15-Й день еще на 15 - 12 = 3 версты и наконец в 23-й день на 23 - 12 = 11 верст, на 23-й день расстояние между ними уменьшится на ( 1 + 2 + ... + 10 + 11 ) верст, это значит, что второй воин по прошествии 23 дней дос­тигнет первого.

14. С К О Л Ь К О Я И Ц В Л У К О Ш К Е.

Пришел крестьянин на базар и принес лукошко яиц, торговцы его спросили: "Много ли у тебя в том лукошке яиц?", крестьянин

молвил им так: " Я всего не помню на перечень, сколько в том

лукошке яиц, только помню: перекладывал я те яица в лукошко по

2 яица, то одно лишнее осталось на земле; и я клал в лукошко по

3 яица, то одно же яицо осталось; и я клал по 4 яица, то одно же яицо осталось; и я клал по 5 яиц, то одно яицо же яицо осталось; и я их клал по 6 яиц, то одно же яицо осталось; и я их клал по 7 яиц, то ни одного не осталось, сочти мне, сколько в том лукошке

яиц было?"

РЕШЕНИЕ: задача сводится к нахождению такого числа, которое делится нацело на 7, а при делении на 2,3,4,5,6 дает в остатке 1, если искомое число уменьшить на 1, то получится число делящееся на 2,3,4,5,6 без остатка.

Наименьшее число, которое делится без остатка на числа 2,3,4,5,6 есть 60, нужно значит найти такое число, которое дели­лось бы на 7 нацело и было бы вместе с тем на 1 больше числа де­лящегося на 60, рассмотрим числа 61,121,181, 241, 301 и так да­лее, Первое из написанных чисел, делящееся на 7, есть 301, кроме этого числа, условию задачи удовлетворяют 721, 1141, 1561 и так далее, ряд чисел, удовлетворяющих условию задачи, бесконечен. Каждое из них получается прибавлением к предыдущему 420 - наи­меньшего числа, делящегося на 4,5,6,7.

15. Д В И Ж Е Н И Е П А Л Ь Ц А.

Это один из способов помочь памяти с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1 , второй за ним- цифрой 2, затем 3,4, ... до десятого пальца, если надо умножить на 9 любое из первых девя­ти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умно­жается 9; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого паль­ца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведе­ния.

ПРИМЕР: Пусть надо найти произведение 4 * 9

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо, тогда до поднятого пальца находятся три пальца, а после поднятого - 6 пальцев, следовательно результат

произведения равен 36.

РЕШЕНИЕ: проще всего убедиться в справедливости этого прави­ла, поднимая по очереди пальцы от первого до десятого и сравнивая результат "ручного умножения" с таблицей умножения, а вот доказа­тельство, если поднимаемый палец имеет номер n, то слева от него лежит ( n - 1 ) палец, а справа ( 10 - n ). Следовательно, полу­чаем тождество:

10 * ( n - 1 ) + ( 10 - n ) = 9 * n которое и подтверждает правило умножения на пальцах.

З А Д А Ч И - Ш У Т К И, З А Д А Ч И - З А Г А Д К И

1. К О З А.

Один человек купил трех коз и заплатил 3 рубля, спрашивается: по чему каждая коза пошла?

Р Е Ш Е Н И Е: по земле .

2. М Н О Г О Л И Н О Г ?

Мельник пришел на мельницу, в каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе 3 котят, спрашивается, много ли ног было на мельнице?

Р Е Ш Е Н И Е: две ноги мельника,ибо у кошек и котят не ноги, а

лапы.

3. С К О Л Ь К О У Т О К ?

Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя другими и три в ряд, сколько всего летело уток ?

Р Е Ш Е Н И Е: всего летело три утки, одна за другой.

4. З А С К О Л Ь К О М И Н У Т ?

Ребята пилят бревна на метровые куски, отпиливание одного такого куска занимает одну минуту, за сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров?

Р Е Ш Е Н И Е: за 4 минуты.

5. К А К Р А З Д Е Л И Т Ь ?

Как разделить полтину на половину.

Р Е Ш Е Н И Е: так как полтина - 50 копеек, то надо разделить 50 на 1/2, выполнив деление получим: 50 : 1/2 = 100 копеек = 1 рубль

З А Т Р У Д Н И Т Е Л Ь Н Ы Е С И Т У А Ц И И.

1. В О Л К , К О З А И К А П У С Т А.

Крестьянину надо перевести через речку волка, козу, и капусту, в лодке может поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста, если оставить волка с козой без

человека, то волк съест козу; если оставить козу с капустой, то

коза съест капусту, в присутствии человека коза не может съесть

капусту, а волк - козу, человек все-таки перевез груз через реку,

как он это сделал?

Р Е Ш Е Н И Е: человек в начале перевозит на другой берег козу, оставляя волка с капустой на берегу; затем возвращается, забирает

волка и перевозит его на другой берег,а козу увозит с собой обратно,оставляя козу на берегу, человек перевозит к волку капусту, затем возвращается и перевозит козу.

2. Д Е В И Ч Ь Я Х И Т Р О С Т Ь .

Золотошвейка, взяв 20 девушек в учение, разместила их в 8 комнат своего дома так, как на рисунке

1

----------------------- по вечерам золотошвейка обходила

| 2 | 3 | 2 | дом и проверяла, чтобы в комнатах

----------------------- на каждой стороне его было по 7

| 3 | | 3 | девушек, однажды к девушкам в

----------------------- гости приехали 4 подружки и, за-

| 2 | 3 | 2 | говорившись, остались ночевать,

----------------------- причем все 24 девушки

2

разместились в комнатах так, что вечером золотошвея насчитала в

комнатах на каждой стороне дома опять по 7 девушек, на следующий

день 4 девушки пошли провожать своих четырех подруг и дома опять

вечером золотошвея насчитала в комнатах на каждой стороне дома по

7 девушек, как размещались девушки по комнатам в двух последних случаях.

Р Е Ш Е Н И Е:

1) 24 девушки можно разместить ; 2) 16 - разместить так

1

------------------- -------------------

| 1 | 5 | 1 | | 3 | 1 | 3 |

------------------- -------------------

| 5 | | 5 | | 1 | | 1 |

------------------- -------------------

| 1 | 5 | 1 | | 3 | 1 | 3 |

------------------- -------------------

2

З А Б А В Н Ы Е И С Т О Р И И.

1. С М Е К А Л И С Т Ы Й С Л У Г А.

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег, но слуга сказал так: " Это - правда, я украл все, что он имел". Тог­да слугу спросили о сумме украденных денег, и он ответил: "Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалование, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, то получится вдвое больше моего жалования". Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

РЕШЕНИЕ: из условия следует, что жалованье слуги на 10 руб­лей больше его же жалования, значит, годовое жалование слуги сос­тавляет 10 рублей, а постоялец,заявивший, что его обокрали, вооб­ще не имел денег.

2. " Б О Г А Т С Т В О ".

У приезжего молодца оценили " богатство": модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета, спрашивается каждой вещи цена.

Р Е Ш Е Н И Е: "вполтретья" - в 2.5 раза

три алтына без полушки составляет 35 полушек и такова стоимость фрака вместе с жилетом, фрак по условию дороже жилета в

2.5 раза, поэтому жилет в 3.5 раза дешевле, чем фрак и жилет вместе, так что жилет стоит 35 : 3.5 = 10 полушек, а фрак стоит 10 * 2.5 = 25 полушек или 6.25 копейки.

. В Е С Е Л Ы Й Ч Е Л О В Е К .

Веселый человек пришел в трактир с некоторой суммой денег и занял у содержателя трактира столько денег, сколько у себя имел, из этой суммы истратил 1 рубль, с остатком пришел в другой трак­тир, где опять занял столько денег, сколько имел, в этом трактире также истратил 1 рубль, потом пришел в третий и четвертый тракти­ры и повторил то же самое, наконец, когда вышел из четвертого трактира, не имел ничего, сколько денег имел первоначально весе­лый человек?

Р Е Ш Е Н И Е: так как после выхода из четвертого трактира у человека не осталось денег, то после ухода из третьего трактира он имел 50 копеек, в третьем трактире он истратил 1 рубль, а пред этим он одолжил столько денег сколько имел, поэтому после ухода из второго трактира он имел половину от 1 рубля 50 копеек, то есть 75 копеек, аналогично, после выхода из первого трактира у человека имелось 175 : 2 = 87,5 копеек, значит, он пришел в пер­вый трактир, имея ( 87.5 + 100 ) : 2 = 93.75 копейки, то есть 93 копейки и 3 полушки.

Можно привести для примера еще очень многое число задач раз­ной степени сложности, но все они были написаны одним выдающимся русским математиком Леонтием Филипповичем Магницким. Многие его задачи пользуются большой популярностью в школьном курсе матема­тики. Высокую оценку деятельности Магницкого давали его современ­ники и потомки, его научные труды признавали за образец ученос­ти,про него писали: " Магницкий Леонтий муж, сведущий славянского языка, ... добросовестный и нельстивый человек, первый российский арифметик и геометр, первый издатель и учитель в России арифмети­ки и геометрии".