111428 (Математика и физика в средней школе), страница 2

сказано следующее: « Это давление исчезает лишь при m 0 или V ∞, а также при Т 0 [5].

Разъясняя ученикам этот материал, учитель физики должен здесь пользоваться интуитивным понятием предела, предварительно выяснив, как изменяется дробь, когда числитель неограниченно уменьшается, знаменатель неограниченно возрастает, а числитель не меняется.

1. Имеют место случаи, когда чисто математические понятия в математике не рассматриваются, а в физике вводятся и используются. В геометрии подробно рассматриваются операции сложения вычитания векторов, умножение вектора на число, и совершенно отсутствует понятие проекции вектора на ось.

2. Не всегда на уроках физики используются некоторые математические понятия, которые прочно утвердились в математике. В физике не пользуются понятием противоположных векторов и нулевого вектора, хотя они известны учащимся из курса геометрии 8 класса.

3. В учебниках физики и математики иногда используется различная терминология.

• В учебниках математики вместо старого термина «абсолютная величина числа» применяется термин «модуль числа». В учебниках по физике продолжают пользоваться термином «абсолютная величина».

• В школьном курсе математики применяется термин «длина вектора», поскольку рассматриваются исключительно геометрические векторы. В школьном же курсе физики пользуются терминами «модуль вектора» и «абсолютное значение вектора».

1. Иногда в школьных курсах математики и физики имеет место несоответствие между символикой.

Хотя эти нарушения не столь уж значительны, знание их позволит учителю физики более эффективно построить преподавание предмета.

Делая вывод по всему выше сказанному, можно сказать, что успешное решение задач обучение во многом зависит от реализации внутри- и межпредметных связей.

Глава 2. Вектор в физике и математике.

§2.1. Введение понятия вектора и действий с векторами при изучении механики и математики в 9 классе средней школы.

С понятием «вектор» учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса [9].

Параллельный перенос – это отражение плоскости на себя, при котором все её точки отображаются в одном и то же направлении на одно и тоже расстояние. Параллельный перенос, который иначе называют вектором, отображает точку А в точку В (рис. 2.1.),точку А₁ в точку В₁ и т. д. Это записывается так: В=Т(А)= (А), и т. д. Один и тот же перенос Т (вектор) можно задать при помощи эквивалентных пар точек (А,В)~(А₁,В₁)~…~(А_n,B_n). Следовательно, для задания параллельного переноса достаточно взять любую пару точек из класса эквивалентных пар. Если вектор задается точками А и В, то его обозначают . Направленные отрезки и (см. рис.2.1) изображают один и тот же перенос

_{Определение вектора, которое дается в школьном курсе геометрии, позволяет логически последовательно изучить все операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число и др. Например под суммой двух векторов и понимают отображение плоскости на себя, являющееся результатом последовательного выполнения отображений и (см. рис.2.2).}

_{Рис 2.1}

_{Рис 2.2}

_{Вектор отображает точку А в точку В, а вектор - точку В в точку С. Вектор , являющийся суммой векторов и , отображает точку А в точку С.}

направленные отрезки АВ, ВС и АС удовлетворяют правилу треугольника.

Представление о направленном отрезке позволяет перейти к введению физических векторных величин, которые так же, как и параллельный перенос, изображаются направленными отрезками.

В 9 классе учащиеся на уроках математике приобретают необходимые навыки выполнения операций над векторами, которые облегчают изучение механики на векторной основе. Однако порой школьники затрудняются выполнять действия по преобразованию векторных уравнений: переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, умножать левую и правую части уравнения на число. Для того чтобы они на уроках физики могли вполне сознательно производить действия с векторными уравнениями, целесообразно договориться с учителем геометрии, чтобы он уделил больше внимания выполнению действий по преобразованию векторных соотношений, например: [8] «По двум коллинеарным векторам _{, входящим в выражение:}

найти и построить вектор », и др.

Наиболее подходящей величиной для введения векторов и операций над ними является перемещение с его «естественным» правилом сложения.

Преступая к объяснению материала о перемещении, учитель физики должен иметь в виду, что в понятие «перемещение» математики вкладывают другой смысл: перемещение в геометрии – это математическое преобразование. С эти понятием учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса, поворота, осевой симметрии.

Перемещение в физике представляет собой более узкое понятие. Вектор перемещения вводится при рассмотрении движения материальной точки или поступательного движения твёрдого тела. При таком движении все точки тела движутся одинаково. Перемещению при поступательном движении тела в механике соответствует параллельный перенос в геометрии. Следовательно, перемещение есть не что иное, как геометрический вектор .

Следует иметь в виду, что вектор можно определить, не прибегая к геометрической интерпретации, не строя направленных отрезков. Вектор в пространстве при выбранной системе координат определяется тремя числами (проекциями вектора), вектор на плоскости – двумя числами. При сложении векторов ( ) их проекции складываются (s_1x+s_2x), при вычитании векторов ( ) их проекции вычитаются, при умножении вектора на число , проекция вектора так же умножается на число ks_x и т. д.

На уроках физики следует обратить внимание на понятие проекции вектора, теорему о проекциях, формулу .

В начале 9 класса в курсе геометрии после изучения тригонометрических функций (sin(х), cos(x)) вводится понятие координат вектора. Последние определяются так: выбирается координатная плоскость и от начала координат откладывается вектор , точка О является началом вектора, а точка - его концом; координатами вектора называется координаты его конца.

В курсе геометрии вводится формулы, связывающие координаты вектора с его модулем и углом, который вектор составляет с положительным направлением оси абсцисс:

На уроках изучают скалярное произведение векторов (на примере работы). После того как введена формула , следует обратить внимание учащихся на то, что в неё входят модули двух величин.

Для физиков важен распределительный закон , поскольку знание его позволяет сделать важный вывод о том, что работа результирующей силы равна сумме работ составляющих сил.

При решении векторных уравнений наряду с графическим методом используется метод проекций (координатный). Рассмотрим использование данного метода при решении задачи [8]:

Задача 1: Конический маятник массой m вращается в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения и силу натяжения нити, если её длина l, а угол, который она составляет с вертикалью, равен α.

Решение: на маятник действует две силы – сила тяжести и сила упругости нити (см. рис. 2.3)

По II закону Ньютона:

Рис 2.3

От векторной формы записи перейдем к уравнениям в проекциях на оси координат:

.

Выразив проекции векторов через модули и принимая во внимание, что имеем:

из уравнения (2) получим:

учитывая, что , и подставляя в уравнение (1) найденное значение , вычислим угловую скорость:

.

§2.2. Векторная величина в средней школе.

Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.

Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого равен , можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [7].

При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.

Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости

и уравнением для координаты

,

где х₀ – координата начальной точки, V_0x и a_x – проекции векторов на ось Х, которая параллельна траектории движения.

Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.