110224 (Экзаменационные вопросы и билеты по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ за весенний семестр 2001 года)

31

примерный перечень экзаменационных вопросов математические методы исследования экономики

1. Векторы. Определение, действия с векторами, свойства.

2. N-мерное пространство. Определение, свойства. Базис n-мерного пространства, свойства базиса.

3. Матрицы. Определение, примеры.

4. Действия с матрицами. Свойства.

5. Определитель матрицы, обратная матрица.

6. Вектор-столбец, вектор-строка.

7. Система линейных уравнений. Определение.

8. Методы Гаусса и Крамера решения системы линейных уравнений.

9. Системы линейных неравенств. Определение.

10. Решение системы двух линейных неравенств с двумя неизвестными.

11. Задача линейного программирования. Постановка задачи, запись в матричном виде, в виде системы неравенств, в векторном виде.

12. Транспортная задача. Постановка.

13. Основной метод решения задачи макетного программирования.

14. Двойственная задача к задаче линейного программирования. Правила построения, примеры.

15. Основные результаты двойственных друг другу задач.

16. Свойства оптимальных решений двойственных задач.

17. Основные понятия теории игр.

18. Игра двух лиц с нулевой суммой. Постановка задачи, понятие верхней и нижней цены игры, седловая точка.

19. Чистые и смешанные стратегии в игре двух лиц с нулевой суммой.

20. Понятие функции нескольких переменных. Основные определения, график функции двух переменных.

21. Возрастание (убывание) по отдельной переменной и по направлению функции двух переменных.

22. Понятие локального и глобального максимума (минимума) функции двух переменных.

23. Выпуклая (вогнутая) функции двух переменных. Геометрическая иллюстрация для функции одной переменной.

24. Абсолютные и относительные приращения функции двух переменных по отдельным переменным и по направлению.

25. Частные производные первого порядка по каждой переменной и по направлению функции двух переменных. Определения, свойства.

26. Частные производные второго порядка функции двух переменных. Определение, свойства.

27. Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных.

28. Градиент функции двух переменных. Определение, свойства.

29. Однородность функции двух переменных степени r.

30. Задача нелинейного программирования. Постановка.

31. Понятие выпуклых функций и выпуклых множеств. Задача выпуклого программирования. Постановка. Свойства.

32. Схема градиентных методов решения задачи выпуклого программирования. Метод наискорейшего спуска.

33. Функция Лагранжа задачи выпуклого программирования. Множители Лагранжа.

34. Условия Куна-Таккера.

35. Задача динамического программирования.

36. Метод динамического программирования. Принцип оптимальности Боллмана. Область применения динамического программирования.

37. Задача стохасического программирования в жесткой постановке и по средним.

38. Задачи экономики.

39. Постановка задачи принятия решения. Участники задачи принятия решения.

40. Методы обработки экспертной информации.

41. Для векторов x = (1, 0, 2, 4, 7), y = (0, 2, 4, 1, 1) указать размерность, построить векторы 2x, 5y, 3x + 2y, вычислить (x, y), (3x, 2y), (2x + y, x + 2y).

42. Для матриц А = , В = найти А + В, 3А + 4В, В', А·В, В·А, |A|, A^-1.

43. Систему уравнений записать в матричной форме: . Решить.

44. Решить задачу линейного программирования: . Указать оптимальное решение (x₁, x₂), максимальное решение целевой функции 20x₁ + 30x₂. Построить двойственную и найти ее решение. Дать геометрическую иллюстрацию, интерпретацию условий двойственности.

45. В игре двух лиц с нулевой суммой с матрицей выигрышей Н = указать: ― число стратегий первого игрока; ― вторую стратегию сторого игрока; ― нижнюю цену игры; ― верхнюю цену игры.

46. Для функции Z = найти: ― значение функции в точке (32, 243); ― частные производные первого и второго порядков по x и по y в точке (32, 243).

47. Для функции Z = 60xy найти: ― абсолютное и относительное приращения функции при переходе из точки (1, 2): в точку (1, 4), в точку (5, 2), по направлению y = 3x при ∆x = 2.

48. Обосновать выпуклость множеств, заданных условиями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

49. Проверить, является ли функция выпуклой (вогнутой): 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

50. Построить график функции в точке: 1) ƒ(x, y) = (x - 1)² + (y - 3)² в точке (4, 7); 2) ƒ(x, y) = 20x + 18y в точке (1, 1); 3) ƒ(x, y) = 80xy в точке (3, 1); 4) ƒ(x, y) = 45x^½y^½ в точке (9, 16).

51. Построить функцию Лагранжа для задачи при условиях: 3x + 8y ≤ 48 x, y ≥ 0.

52. Решить задачу стохастического программирования в постановке “по срезам”: 5x + 3y → max 4x + 6y ≤ b x, y ≥ 0. b принимает значение 18 с вероятностью и значение 45 с вероятностью .

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 1

1. Показать результат произведения матрицы размерности m х n на вектор-столбец.

2. Привести двойственную задачу для следующей задачи линейного программирования:
   
   Каковы размерности двойственной задачи линейного программирования, если прямая задача имеет размерности: векторы х и р размерности n, вектор в – размерности m, матрица А – размерности m х n?

3. Понятие глобального максимума функции двух переменных.

4. Экономический смысл отрицательности частной производной первого порядка по х функции двух переменных.

5. Описать метод наискорейшего спуска.

6. Предприятие выпускает два вида продукции, используя один вид сырья. Для производства единицы продукции каждого вида требуется 30 ед. и 20 ед. сырья, соответственно. Цена сырья – 300 руб./ед. Определить стоимость сырья, необходимого для осуществления следующего выпуска продукции .

7. Для функции f (x,y) = 10x + 15y в точке (15,10) построить градиент и линию уровня, проходящую через эту точку. Решение изобразить геометрически.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 2

1. Привести свойства умножения матриц.

2. Дать понятие двойственности в линейном программировании.

3. Что такое принцип классификации по количеству стратегий? Привести примеры.

4. Свойство положительности частной производной первого порядка по х функции двух переменных ( ).

5. Что относится к задачам эконометрики?

6. Для вектора х = (3, 7, 0, 2) построить 3х.

7. Найти частную производную первого порядка по у функции
   f(x,y) =20xy.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 3

1. Дать определение произведения матрицы А на матрицу В.

2. Сформулировать условие, связанное со строгой положительностью некоторой координаты, например х_j*, оптимального решения прямой задачи линейного программирования.

3. В игре двух лиц с нулевой суммой привести понятие верхней цены игры.

4. Привести формулу Эйлера для однородных функций.

5. Дать понятие оценки альтернативы х по критерию.

6. Найти координаты вершин множества, определенного системой линейных неравенств:
   

7. Для функции f (x,у) = -x² + y в точке (2,9) построить линию уровня, проходящую через точку (2, 9) и градиент в этой точке. Решение изобразить геометрически.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 4

1. Привести решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

2. Дать понятие опорного плана в задаче линейного программирования.

3. Область значений функции нескольких переменных.

4. Дать понятие безусловного экстремума функции нескольких переменных.

5. В чем состоит задача принятия решения?

6. Найти произведение матриц А = и х =

7. Является ли выпуклым множество, точки которого представляют собой решение неравенства: {(x,y): (x - 4)² + (y -3)²  25}. (решение может быть геометрическим)

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ

Билет № 5

1. Дать понятие определителя матрицы А.

2. Привести постановку задачи о рационе.

3. Сформулировать цель в транспортной задаче.

4. Дать понятие стационарной точки функции двух переменных.

5. Что изучает раздел стохастического программирования?

6. Даны вектора х = (2, 1, 4, -3, 0), у = (1, -2, 1, 0, 1) найти скалярное произведение векторов х и 2х + у.

7. Обосновать выпуклость множества, точки которого являются решением неравенства (можно геометрически): {(x,y): xy  1, x, y  0}.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------