Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана.

Кафедра «Высшая математика».

Домашнее задание по курсу

«теория вероятности».

Вариант № 5.

Выполнил: Котляров А.С.

Группа: МТ6-62

Проверил: Шахов

Москва. 2000 г.

Задача 1. Одновременно бросаются две кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

1. равна 7;

2. меньше 8;

3. больше 6;

4. заключена в промежутке [3; 5].

Решение.

Все пространство возможных событий:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Число возможных вариантов N=36.

1. Событие А – сумма очков равна 7.

А={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}.

M=6;

Вероятность события А: P(A)=

1. Событие B – сумма очков меньше 8.

В={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

(5,1);(5,2);

(6,1)}.

M=21;

Вероятность события В:

1. Событие С – сумма очков больше 6.

С={(1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,2);.........(5,6);(6,1);.......(6,6)}.

M=20;

Вероятность события C:

1. Событие D – сумма выпавших очков заключена в интервале [3, 5].

D={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}.

M=9;

Вероятность события D:

Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение 100 минут. Время обслуживания первой заявки 5 минут, второй – 25 минут. При поступлении заявки на занятое устройство заявка не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятность того, что:

1. Обе заявки будут обслужены (событие А);

2. Будет обслужена одна заявка (событие В).

Р ешение.

Обозначим: X –время прихода заявки 1,

Y - время прихода заявки 2.

1. Обе заявки будут обслужены:

а) Заявка 1 пришла первая: YX+5,

(область D1);

б) Заявка 2 пришла первая: XY+25,

(область D2);

1. Будет обслужена одна заявка:

а) заявка 1:

0X95; Y75 (область D5)

б) заявка 2:

0Y75; X95 (область D6)

в) заявка 2 пришла во время выполнения заявки 1:

XYX+5 (область D3)

г) заявка 1 пришла во время выполнения заявки 2: Y XY+25 (область D4)

Вероятность того, что будет обслужена одна заявка:

.

Задача 3. Задана электрическая схема системы, состоящей из 5 элементов. Событие - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы:

Событие А – безотказная работа всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется:

1. Выразить событие А через или (i=1,2,3,4,5);

2. Найти вероятность Р(А)(надежность системы).

Р ешение.

1. Первый узел, состоящий из элементов 1,2,5 выходит из строя, если какой либо из этих элементов выходит из строя, т.е. происходит событие ( ).

Второй узел, состоящий из элементов 3,4 выходит из строя, если оба эти элементы выходят из строя, т.е. происходит событие ( ).

Вся цепь выйдет из строя, если оба узла не будут проводить ток, т.е.:

( )( )

1. Обозначим - вероятность выхода из строя i-го элемента. Так как события , а следовательно и , независимы, то

Надежность системы:

Задача 4. Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится:

1. с возвращением,

2. без возвращения.

Решение.

1) Пусть событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия высшего сорта;

событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия не высшего сорта.

Извлекаются 6 изделий из 12. Найдем число возможных сочетаний:

.

Интересующее нас событие В состоит в том, чтобы из 6 выбранных было 5 высшего сорта. Найдем сочетание из 6 по 1:

Вероятность события В:

2)

……………………………………………………

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 60% деталей, на втором – 10%, на третьем – 30%. Вероятность изготовления брака на i-станке равна:

Определить вероятность того, что:

1. изделие, взятое со склада, оказалось бракованным (событие А);

2. бракованное изделие изготовлено на i-м станке (событие Bi).

Решение.

1. событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке

; ; ;

2) ;

;

.

Задача 6. Произведено 4 выстрела с постоянной вероятностью попадания равной 0.6.

Для случайной величины m числа попаданий в цель найти:

1. распределение вероятностей;

2. функцию распределения и построить ее график;

3. вероятность попадания случайной величины в интервал ]0.5,2[;

4. математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) обозначим:

1. промах

2. попадание 1 раз

3. попадание 2 раза

4. попадание 3 раза

5. попадание 4 раза

;

;

;

;

2) найдем функцию распределения:

0X1: F(X)=P(m1)=P(m=0)=0.0256 ;

1X2: F(X)=P(m2)=P(m=0)+P(m=1)=0.0256+0.1536=0.1792 ;

2X3: F(X)=P(m3)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)=0.1792+0.3456=0.5248 ;

3X4: F(X)=P(m4)=P(m3)+P(m=3)=0.5248+0.3456=0.8704 ;

4X5: F(X)=P(m5)=P(m4)+P(m=5)=0.8704+0.1296=1 ;

1. определим вероятность попадания случайной величины m в интервал ]0.5;2[ :

P(0.5m2)=P(m=2)=0.3456 ;

1. для определения математического ожидания воспользуемся формулой:

;

Дисперсия:

;

Среднее квадратическое отклонение:

.

Задание №7

Случайная непрерывная величина имеет плотность вероятности f(x) = 32*t*е

Требуется:

1.)Найти её функцию распределения F(x).

2.)Построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

3.)Вычислить вероятность попадания случайной величины в (0.5; 2)

Решение.

1.)F(x) = 32*t*e dt = -e + 1

2.)Графики приведены ниже

3.)Вероятность попадания в случайный интервал найдем как:

Р(0.5 < < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

Задача 8. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины . Случайная величина  связана со случайной величиной  функциональной зависимостью . Найти:

1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя плотность вероятности случайной величины ;

2. Плотность вероятности случайной величины  и построить ее график;

3. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность вероятности случайной величины .

Решение.

1. Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

2. Плотность вероятности случайной величины :

3. Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

Числовые характеристики, вычисленные разными методами, совпадают.

Задача 9. Дана система двух случайных величин (,), закон распределения которой задан таблицей 1. Найти:

1. Законы распределения случайных величин  и ;

2. Математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;

Решение.

1. распределение случайной величины :

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

распределение случайной величины :

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

1. Математическое ожидание случайной величины : ;

Дисперсия случайной величины :

Математическое ожидание случайной величины :

Дисперсия случайной величины :

1. Корреляционный момент:

Коэффициент корреляции:

1. Условные распределения:

(2/0)= ;

(3/0)=

(5/0)=

Условные распределения

1. Условные математические ожидания:

Задача 10. Система непрерывных случайных величин (,) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x=1, y=0, x>0;найти:

1. совместную плотность распределения f(x;y), предварительно построив область D;

2. плотности вероятностей случайных величин  и ;

3. математические ожидания и дисперсии случайных величин  и ;

4. коэффициент корреляции ;

5. Условные плотности распределения и ;

6. Условные математические ожидания линии регрессии и построить их графики.

Решение.

1. Так как распределение равномерное, то f(x;y)=const. Совместную плотность вероятности находим из условия нормировки:

f(x;y)=-1

2. Плотности вероятностей случайных величин  и :

. ; x[0,1];

; y[-2;0];

1. Математические ожидания и дисперсии случайных величин  и :

;

;

;

;

1. Коэффициент корреляции :

;

1. Условные плотности распределения и :

;

;

1. Условные математические ожидания :

Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, =а+b+с, где (,) – система случайных величин из задачи 10. а=2; b=-3; c=3.

Решение.

Находим математическое ожидание:

.

Дисперсия:

= .

9