109056 (Апология Бесконечности), страница 2

(На самом деле это не ряд трансфинитных чисел, а бесконечный ряд порядковых чисел. порядковые же числа включают в себя и конечные порядковые числа, и бесконечные, то есть трансфинитные, числа.) Здесь символ ω означает наименьшее трансфинитное число. Соответственно многоточия между числами 3 и ω, с одной стороны, и между числами ω+3 и ω×2, с другой стороны, говорят о том, что на месте первого многоточия находится бесконечное количество конечных натуральных чисел 4, 5, ..., а на месте второго многоточия находится такое же бесконечное количество трансфинитных чисел ω+4,ω+5,ω+6, ... сравнивая чисто визуально конструкции (5) и (6), автор делает следующий вывод (там же с.81): "таким образом мы фактически построили (доказали построением) 1–1-соответствие между множеством трансфинитных целых (порядковых) чисел Кантора (6) и множеством всех конечных натуральных чисел с сохранением порядка". Как можно установить (1–1)-соответствие, то есть взаимно однозначное соответствие, между множеством конечных чисел (конструкция (5)) и множеством порядковых чисел, включающих в себя конечные порядковые числа и трансфинитные числа (конструкция (6)), неизвестно никому. Поэтому правильно об этом сказано в комментарии к данной статье. А установить это соответствие невозможно потому, что трансфинитные числа конструкции (6) – это порядковые типы счетных вполне упорядоченных множеств, которые составляют несчетное множество [12, с. 69-70]. Автор же вопреки этому утверждает на с.81, что "Хорошо известно, что канторовский ряд (6) ... является счетным множеством", чего на самом деле нет [12, с. 69-70]. А все дело в том, что автор всеми силами пытается ниспровергнуть бесконечность и потому отождествляет конечное с бесконечным посредством надуманного им (1–1)-соответствия между конструкциями (5) и (6). Причем, автор неточен и в том, что конструкцию (6) называет "множеством трансфинитных чисел", хотя в нее входят и конечные числа (они что – тоже трансфинитные числа?!). Надо сказать больше. На с.93 в ответе автора на упомянутый комментарий снова утверждается, что конструкция (6) является счетной. Но это неверно! Конструкция (6), как минимум, имеет мощность стандартного континуума ω₁=2^ω, о чем говорят и П.С. Александров [12, с. 69 и теорема 18 на с. 70], и Ю.И. Манин [13, с. 105]. Это – первое. Во-вторых, автор настойчиво утверждает [9, с. 81, 93] об изоморфизме конструкций (5) и (6) с сохранением естественного порядка натурального ряда. Но этого тоже не может быть, поскольку в конструкции (5) любое натуральное число n (кроме первого) имеет предшественника n-1, а в конструкции (6) имеется бесконечно много порядковых чисел (так называемых предельных) ω,ω×2,ω×3,..., которые не имеют предшественников (см., например, у Ю.И. Манина [13, с. 104] или в математической энциклопедии [10, Т.4, статья "Порядковое число"]), вследствие чего в конструкции (6) перед предельными трансфинитами ω, ω×2, ω×3, ... есть как бы "дырки", или "черные дыры", в которых содержатся мириады счетно бесконечных множеств, а в конструкции (5) таковых нет и поэтому между конструкциями (5) и (6) никак не может быть изоморфизма, тем более, с сохранением естественного порядка натурального ряда.

таким образом, никакого (1–1)-соответствия между счетной конструкцией (5) и несчетной конструкцией (6) нет и быть не может. Соответственно нет и быть не может никакой речи о сведении бесконечного к конечному, что пытался сделать Зенкин.

Из всего вышесказанного следует только одно: ниспровержение канторовской теории множеств не имеет под собой никаких оснований. Противоречия? Да – в ней имеются противоречия, но их преодоление и устранение являются вполне посильными и реальными [11].

Перейдем ко второму названному нами концептуальному противоречию – фактическому отсутствию определения начальной актуальной бесконечности. Уязвимым в теории множеств является начальное бесконечное множество, в качестве которого выступает множество натуральных чисел N=0,1,2,3,...,n,... Оно называется также счетным множеством. Изучается оно как актуальное множество, имеющее мощность ω. Бесконечность ω есть наименьшая бесконечность, поскольку все числа, меньшие этой бесконечности, входят в множество N, которое включает в себя только конечные числа. Известным противоречием является тот факт, что множество N содержит только конечные числа – оно еще называется множеством всех конечных чисел – и, несмотря на это, постулируется, что оно содержит бесконечное количество ω конечных чисел. С точки зрения классической логики этого не может быть, поскольку количество чисел в множестве N должно совпадать с максимальным числом этого множества, то есть число ω, или по крайней мере число ω-1, должно входить в множество N. Но это не так – число ω не входит в ряд N, оно называется предельным, к которому стремятся числа натурального ряда, что записывают как: . Причем, в этой и многих других подобных записях имеет место нечеткость в понимании символов бесконечности. Так, запись n→∞ должна пониматься просто как фраза "n стремится к бесконечности". Равенство же предела limn трансфиниту ω вполне конкретно, хотя очевидно, что ω≠∞. Не имея предшественника (число ω-1 в теории множеств запрещено), число ω оказывается и магическим, и мистическим, и фантастическим. Вследствие этого между числом ω и всеми конечными числами N имеет место "дырка", которая одновременно может быть и "черной дырой", в которую могут улетать мириады бесконечных множеств N, и "черной антидырой", из которой можно черпать также мириады бесконечных множеств. Несмотря на всю эту экзотику, множество натуральных чисел остается неизменным по своей мощности, то есть по своему количеству элементов. Такое положение вещей находится в явном противоречии с классической логикой, с ее принципом "часть не может быть равна целому". Это, наверное, и побудило Г. Кантора и Р. Дедекинда ввести в теорию бесконечных множеств принцип "часть может быть равна целому" (этот принцип ввел в обиход еще Николай Кузанский).

Поскольку мы отказались от этого принципа, то очевидно, что надо найти определение актуальной бесконечности, отвечающее действительному положению вещей. А оно, то есть действительное положение вещей, является следующим. Во-первых, поскольку противоречия в бесконечном проистекают из-за нарушения принципов классической логики, то главным методологическим принципом в определении бесконечности должны быть принципы классической логики. Во-вторых, необходимо иметь непротиворечивое определение счетного множества. Наконец, в-третьих, надо дать четкое и ясное непротиворечивое определение начальной актуальной бесконечности.

Итак, что же представляет собой счетное множество? Является ли оно бесконечным, как это общепринято, или же оно на самом деле является конечным, хотя и неограниченным? То, что это весьма важно, видно из следующего. Если допустить, что счетное множество является конечным, то тогда снимутся все его противоречия. Во-первых, оно будет содержать не бесконечное количество ω элементов, а конечное количество N, которое, как и ω, будет предельным числом для всех конечных чисел, но не бесконечным, а конечным, причем таким непостижимо большим конечным числом, что все конечные числа n будут меньше его, то есть n

А теперь покажем, что определение счетного множества как бесконечного множества ω является фундаментально противоречивым.

Можно, конечно, вспомнить, что счетное множество изначально определяется алгоритмом образования его элементов n с помощью самого обыкновенного счета: n=(n-1)+1. И нет никаких аргументов в пользу того, что среди элементов может найтись такой элемент, который может породить последователя n+1, имеющего бесконечно большое значение. Поэтому и говорят, что ω – это наименьшее бесконечное число, а все числа, меньшие ω, являются конечными числами. На самом деле все обстоит не так: среди чисел стандартного счетного множества можно найти и бесконечные числа.

Действительно, возьмем и запишем все числа n счетного множества N в обычной двоичной системе счисления: "0"=...000, "1"=...001, "2"=...010,..., "n"=...r_l...r₂r₁r₀(r_l=0,1; l=0,1,2,...,L, l – номера двоичных разрядов) и т.д. очевидно, что для записи всех чисел требуется некоторое количество L двоичных разрядов. Заведомо известно, что оно меньше бесконечного количества ω самих чисел n счетного множества N. Да это легко и доказывается – как с использованием теоремы Кантора 2^ω>ω, так и без нее. Если не использовать теорему Кантора, то надо заметить, что поскольку все числа счетного множества являются конечными, то и количество L двоичных разрядов для их записи является конечным. Но в таком случае, как известно из арифметики, количество чисел, которое может быть записано с помощью конечного числа L разрядов, равно 2^L. Поскольку L конечное, то и 2^L является конечным числом. Но это противоречит тому, что количество всех конечных чисел счетного множества согласно определению является бесконечным. При использовании теоремы Кантора надо заметить то, что двоичные разряды r_l представляют собой множество L, а все его подмножества – это не что иное как все конечные числа N. Количество же подмножеств множества L равно 2^L, которое есть также бесконечное число ω, то есть 2^L=ω, откуда непосредственно следует, что L должно быть бесконечным. По теореме же Кантора ω=2^L>L, то есть L<ω, что по определению счетного множества значит, что L является конечным и принадлежит счетному множеству, то есть . Таким образом, получаем противоречие: из 2^L=ω следует, что L является бесконечным, а из L<ω – что L является конечным. Это – с одной стороны. С другой стороны можно доказать, что счетное множество должно содержать бесконечные числа. Подобно тому, как начальная бесконечность ω есть предел , так и количество разрядов L можно определить как предел , который равен бесконечности, поскольку функция L(n) является монотонно возрастающей. Обозначив этот предел некоторым бесконечным числом w и учтя, что w<ω, придем к выводу, что счетное множество содержит и бесконечное число w<ω, что естественно находится в противоречии с определением счетного множества как множества, состоящего только из конечных чисел.

Следовательно, счетное множество является либо конечным и тогда никаких связанных с ним противоречий не существует, либо оно является бесконечным множеством, содержащим как конечные числа, так и бесконечные, например, число w. Но поскольку мы не знаем – как из сколь угодно большого конечного числа n с помощью операции n+1 может явиться нам бесконечное число ω, то надо признать, что счетное множество N является конечным.

Из всего только что сказанного мы делаем два фундаментальных вывода. Первый вывод: счетное множество N=0,1,2,...,n,... современной стандартной математики является конечным множеством, мощность которого равна предельному числу N, не являющимся бесконечным и которое можно называть наибольшим конечным числом по аналогии с тем, как называли его наименьшим бесконечным числом. Второй вывод: наименьшего бесконечного множества не существует и не существует его в том смысле, что для любого бесконечного множества ω существует субстрат-множество w (множество двоичных разрядов), мощность которого w является строго меньшей мощности ω исходного множества. Другими словами, наряду с известным утверждением теории множеств о том, что "не существует наибольшего бесконечного множества", имеет место и утверждение о том, что "не существует и наименьшего бесконечного множества". Все эти проблемы детально изучены в книге [11].

Само собой разумеется, что предельным множеством для всех конечных множеств n является счетное множество N всех натуральных чисел n и оно есть конечное множество. Для бесконечных кардинальных чисел w_p существует два предельных кардинала: ω₊ – наибольший предельный кардинал, к которому стремятся большие кардиналы ω₁,ω₂,ω₃,..., и ω_- – наименьший предельный кардинал, к которому стремятся малые кардиналы ω_-1,ω_-2,ω_-3,... . Все кардиналы, в том числе и конечные кардиналы n_k, связаны между собой не только известным теоретико-множественным отношением "множество всех подмножеств 2^M множества M", но и обратным этому отношению информационно-субстратным отношением IS=log₂M (частным случаем которого является множество двоичных разрядов для представления того или иного множества чисел {0,1,2,...}). При этом бесконечный кардинал ω₀=ω является мощностью начального бесконечного множества.

Таким образом, вместо двух противоречивых оснований теории бесконечных множеств "часть может быть равна целому" и "счетное множество есть начальное бесконечное множество" выдвинуты и используются следующие концептуальные положения:

· первое: "часть не может быть равна целому", что на языке множеств означает: никакая собственная часть никакого множества не может быть эквивалентной самому множеству;

· второе: известное счетное множество натуральных чисел N=0,1,2,... является конечным множеством, имеющим мощность, равную предельному конечному числу N;

· третье: для любого множества существует как известное теоретико-множественное отношение "множество всех подмножеств 2^M", так и обратное ему информационно-субстратное отношение "log₂M";

· четвертое: начальным бесконечным множеством является множество, имеющее мощность, равную начальному бесконечному кардиналу ω₀=ω.

С первыми тремя положениями мы уже разобрались. Осталось рассмотреть четвертое – какой объект является начальным бесконечным множеством? Этот объект имеет онтологические основания и, в общем-то, знаком и известен. Он почему-то считается вторичным по отношению к стандартному счетному множеству. Получают его следующим образом. Обычно говорят: отложим на прямой x от точки "0" единичный отрезок с концом, обозначенным через "1", от точки "1" отложим еще один единичный отрезок с концом, обозначенным через "2", и так до бесконечности. Полученные таким образом точки на прямой геометрически иллюстрируют множество натуральных чисел (см., например, [14, с. 33-34]). На самом же деле первичным в знании являются не числа, а прямая, или одномерный континуум x. Он символизирует первосущную онтологическую бесконечность. Можно сказать, что это о ней говорил Архит Тарентский. Она есть актуальная бесконечность, но бесконечность континуальная, в отличие от бесконечности множественной. Вот ее-то, то есть прямую x, мы и принимаем в качестве начальной онтологической бесконечности, которую и обозначаем известным символом "∞", придавая ему таким образом статус определенности. Здесь нам достаточно ее понимания как бесконечной величины, или длины. Эта бесконечная величина единственна. Вот теперь, если мы отложим на прямой x единичный отрезок e и возьмем отношение ∞/e, то получим начальную теоретико-множественную бесконечность ω=∞/e. Это отношение есть актуальное разбиение актуальной прямой ∞ на ω конечных отрезков e. Оно несет в себе глубокий онтологический и гносеологический смысл отношения между актуальным бесконечным ∞ и актуальным конечным e, или просто – между конечным и бесконечным. Разбиение ω порождает многое из единого и это многое есть начальное актуальное бесконечное множество ω={e₁,e₂,...,e_ω}, состоящее из ω единичных отрезков e. Обо всем этом обстоятельно говорится в книге [11].

Апологию бесконечности мы завершим сопоставлением бесконечного ряда W всех порядковых чисел с нашим бесконечным числовым рядом Ω, являющимся развитием и углублением сущности ряда порядковых чисел.

Бесконечный ряд W порядковых чисел имеет вид:

W={0,1,2,3,...,n,...;

ω,ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,...; ...; ω×n,ω×n+1,ω×n+2,ω×n+3,...,ω×n+n,...; ...

...; ω₁,ω₁+1,...; ω₂,ω₂+1,...; ...; ω_ω,ω_ω+1,...; ...}.

Его началом является уже рассматривавшаяся выше знаковая конструкция (6), или канторовский бесконечный ряд порядковых чисел. Он обладает уже упоминавшимися выше свойствами: за всеми конечными числами n следует наименьшее трансфинитное число ω, которое указывает также количество предшествующих ему конечных чисел. Само же число ω не имеет предшественника, то есть левого соседнего с ним числа ω-1. Любое бесконечное число вида ω, ω×n,ωⁿ, ω^ω и т.д. является предельным и не имеет предшественника. Не имеют предшественников и все числа, кратные, если можно так сказать, начальной бесконечности ω. Это значит, что перед всеми этими числами есть "дырки". Говорят, что ряд W не имеет наибольшего бесконечного числа. Логически это то же самое, что говорить, что множество конечных чисел не имеет наибольшего конечного числа.

Бесконечный числовой ряд Ω, свободный от концептуальных противоречий, выглядит следующим образом:

Ω={0,1,2,...,N-1;

N,N+1,...,2N-1;;...; nN,nN+1,...,(n+1)N-1; ;...; 2^N-N,2^N-N+1,...,2^N-1;

ω_-=2^N,ω_-+1,ω_-+2,...,ω_-n-1,ω_-n,ω_-n+1,...,ω_-1-1,ω_-1,ω_-1+1,...

...,ω₀-1,ω₀,ω₀+1,...,ω₁,...,ω_i,...,ω₊}.

Ряд Ω имеет фундаментальные отличия от ряда W. Во-первых, он не имеет никаких концептуальных противоречий. В частности, он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики. Во-вторых, его счетное множество является не бесконечным, а конечным. И в-третьих, ряд Ω не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа. Этот факт в ряде Ω отражен символами предельных бесконечностей: ω_-– наименьшей и ω₊– наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд Ω может быть разбит на пять классов:

-начальный класс, он же – счетное множество N=0,1,2,...,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Кагот – герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу [15] (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). О предельном числе Nздесь говорится, что оно не существует в канторовском смысле, то есть в том смысле, в каком говорится в известной теории множеств о несуществовании наибольшей бесконечности в ряде W;

-промежуточный класс чисел от N,N+1,N+2,... до 2^N-1, который представляет собой числа, уже не являющиеся конечными, но и не являющиеся еще бесконечными. Называются они числами Кагота;