terver_5var (типовичок)
Описание файла
Файл "terver_5var" внутри архива находится в следующих папках: 05, 05a, 5 вариант. Документ из архива "типовичок", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "terver_5var"
Текст из документа "terver_5var"
Задача 1. Одновременно бросаются две кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:
-
равна 7;
-
меньше 8;
-
больше 6;
-
заключена в промежутке [3; 5].
Решение.
Все пространство возможных событий:
={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);
(2,1);(2,2); ..............................(2,6);
........................................................
(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.
Число возможных вариантов N=36.
-
Событие А – сумма очков равна 7.
А={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}.
M=6;
-
Событие B – сумма очков меньше 8.
В={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);
(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);
(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);
(4,1);(4,2);(4,3);
(5,1);(5,2);
(6,1)}.
M=21;
-
Событие С – сумма очков больше 6.
С={(1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,2);.........(5,6);(6,1);.......(6,6)}.
M=20;
-
Событие D – сумма выпавших очков заключена в интервале [3, 5].
D={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}.
M=9;
Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение 100 минут. Время обслуживания первой заявки 5 минут, второй – 25 минут. При поступлении заявки на занятое устройство заявка не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятность того, что:
-
Обе заявки будут обслужены (событие А);
-
Будет обслужена одна заявка (событие В).
Р ешение.
Обозначим: X –время прихода заявки 1,
Y - время прихода заявки 2.
-
Обе заявки будут обслужены:
а) Заявка 1 пришла первая: YX+5,
(область D1);
б) Заявка 2 пришла первая: XY+25,
(область D2);
-
Будет обслужена одна заявка:
а) заявка 1:
0X95; Y75 (область D5)
б) заявка 2:
0Y75; X95 (область D6)
в) заявка 2 пришла во время выполнения заявки 1:
XYX+5 (область D3)
г) заявка 1 пришла во время выполнения заявки 2: Y XY+25 (область D4)
Вероятность того, что будет обслужена одна заявка:
Задача 3. Задана электрическая схема системы, состоящей из 5 элементов. Событие - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы:
Событие А – безотказная работа всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется:
-
Первый узел, состоящий из элементов 1,2,5 выходит из строя, если какой либо из этих элементов выходит из строя, т.е. происходит событие ( ).
Второй узел, состоящий из элементов 3,4 выходит из строя, если оба эти элементы выходят из строя, т.е. происходит событие ( ).
Вся цепь выйдет из строя, если оба узла не будут проводить ток, т.е.:
-
Обозначим - вероятность выхода из строя i-го элемента. Так как события , а следовательно и , независимы, то
Надежность системы:
Задача 4. Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится:
-
с возвращением,
-
без возвращения.
Решение.
1) Пусть событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия высшего сорта;
событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия не высшего сорта.
Извлекаются 6 изделий из 12. Найдем число возможных сочетаний:
Интересующее нас событие В состоит в том, чтобы из 6 выбранных было 5 высшего сорта. Найдем сочетание из 6 по 1:
Вероятность события В:
……………………………………………………
Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 60% деталей, на втором – 10%, на третьем – 30%. Вероятность изготовления брака на i-станке равна:
Определить вероятность того, что:
-
изделие, взятое со склада, оказалось бракованным (событие А);
-
бракованное изделие изготовлено на i-м станке (событие Bi).
Решение.
-
событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке
Задача 6. Произведено 4 выстрела с постоянной вероятностью попадания равной 0.6.
Для случайной величины m числа попаданий в цель найти:
-
распределение вероятностей;
-
функцию распределения и построить ее график;
-
вероятность попадания случайной величины в интервал ]0.5,2[;
-
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение.
1) обозначим:
-
промах
-
попадание 1 раз
-
попадание 2 раза
-
попадание 3 раза
-
попадание 4 раза
2) найдем функцию распределения:
0X1: F(X)=P(m1)=P(m=0)=0.0256 ;
1X2: F(X)=P(m2)=P(m=0)+P(m=1)=0.0256+0.1536=0.1792 ;
2X3: F(X)=P(m3)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)=0.1792+0.3456=0.5248 ;
3X4: F(X)=P(m4)=P(m3)+P(m=3)=0.5248+0.3456=0.8704 ;
4X5: F(X)=P(m5)=P(m4)+P(m=5)=0.8704+0.1296=1 ;
-
определим вероятность попадания случайной величины m в интервал ]0.5;2[ :
P(0.5m2)=P(m=2)=0.3456 ;
-
для определения математического ожидания воспользуемся формулой:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Задание №7
Случайная непрерывная величина имеет плотность вероятности f(x) = 32*t*е
Требуется:
1.)Найти её функцию распределения F(x).
2.)Построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).
3.)Вычислить вероятность попадания случайной величины в (0.5; 2)
Решение.
1.)F(x) = 32*t*e dt = -e + 1
2.)Графики приведены ниже
3.)Вероятность попадания в случайный интервал найдем как:
Р(0.5 < < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001
Задача 8. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины . Случайная величина связана со случайной величиной функциональной зависимостью . Найти:
-
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя плотность вероятности случайной величины ;
-
Плотность вероятности случайной величины и построить ее график;
-
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность вероятности случайной величины .
Решение.
Дисперсия случайной величины :
2. Плотность вероятности случайной величины :
Дисперсия случайной величины :
Числовые характеристики, вычисленные разными методами, совпадают.
Задача 9. Дана система двух случайных величин (,), закон распределения которой задан таблицей 1. Найти:
-
Законы распределения случайных величин и ;
-
Математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;
Решение.
-
распределение случайной величины :
распределение случайной величины :
Дисперсия случайной величины :
Математическое ожидание случайной величины :
Дисперсия случайной величины :
-
Корреляционный момент:
Коэффициент корреляции:
-
Условные математические ожидания:
Задача 10. Система непрерывных случайных величин (,) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x=1, y=0, x>0;найти:
-
совместную плотность распределения f(x;y), предварительно построив область D;
-
плотности вероятностей случайных величин и ;
-
математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;
-
Условные математические ожидания линии регрессии и построить их графики.
Решение.
1. Так как распределение равномерное, то f(x;y)=const. Совместную плотность вероятности находим из условия нормировки:
f(x;y)=-1
2. Плотности вероятностей случайных величин и :
-
Математические ожидания и дисперсии случайных величин и :
Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, =а+b+с, где (,) – система случайных величин из задачи 10. а=2; b=-3; c=3.
Решение.
Находим математическое ожидание:
Дисперсия:
8