terver_2var_fn12 (типовик)

Задача 1

На шести карточках написаны буквы Е, И, С, С, С, Я. Тщательно перемешав карточки, извлекают их одну за другой и кладут в порядке извлечения. Найти вероятность того, что составится слово “сессия”.

Решение:

Введем события:

А₁ – на первой выбранной карточке написана буква С

А₂ – на первой выбранной карточке написана буква Е

А₃ – на первой выбранной карточке написана буква С

А₄ – на первой выбранной карточке написана буква С

А₅ – на первой выбранной карточке написана буква И

А₆ – на первой выбранной карточке написана буква Я

А – получится слово “сессия”.

P(A)=P(А₁ А₂ А₃ А₄ А₅ А₆)= P(А₁) P(А₂|А₁) P(А₂|А₁) P(А₃|А₁А₂) P(А₄|А₁А₂А₃) P(А₅|А₁ А₂ А₃ А₄) P(А₆|А₁А₂А₃А₄А₅).

Задача 2

В группе из 20 человек имеются 5 отличных, 9 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9; хороший – с вероятностью 0,8; посредственный – с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды, в результате отмечено одно попадание и один промах. Какой вероятнее всего был стрелок: отличный, хороший или посредственный?

Решение:

Пусть событие А – попадание в мишень

Гипотеза H₁ – стрелок отличный

H₂ – стрелок хороший

H₃ – стрелок посредственный

Вероятности попадания в мишень:

Т.к.

Ответ: хороший стрелок.

Задача 3

Значение острого угла ромба со стороной a распределены равномерно в интервале ( ). Найти плотность распределения вероятностей площади ромба.

Решение:

Ответ:

Задача 4

Математическое ожидание скорости ветра у земли в данной местности составляет 8 км/ч. Найти вероятность того, что скорость ветра превысит 20 км/ч и что она будет меньше 50 км/ч. Как изменятся искомые вероятности, если будет известно, что среднее квадратичное отклонение скорости ветра равно 2 км/ч?

Решение:

1. Используя первое неравенство Чебышева:

1. Используя второе неравенство Чебышева:

Задача 5

Случайная величина ( ) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ( ) и ковариационной матрицей:

.

Найти: P{ > a}. ( )=(-0,15; 0);

Решение:

P{ > 0}

Рассмотрим ;

P{ > 0} =

Задача 6

Для заданной выборки:

1. постройте: а) статистический ряд; б)интервальный статистический ряд, предварительно определив число интервалов;

2. найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии

3. постройте гистограмму

4. на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности

Решение:

1. а)

б)

Интервальный статистический ряд

2)

24,84

3)

4)

Полигон частот

Построив полигон частот, можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Задача 7

До наладки станка была проверена точность изготовления 10-ти втулок и оценено значение дисперсии диаметра втулок , которое характеризует точность станка. После наладки станка контролировалось еще 25 втулок и получено новое значение дисперсии . Есть ли основания считать, что в результате наладки станка точность изготовления на нем деталей не изменилась? Проверку гипотезы осуществлять на уровне значимости в предположении, что ошибка изготовления распределена по нормальному закону.

Решение:

Проверим гипотезу (о равенстве дисперсий) при альтернативной гипотезе .

распределение Фишера со степенями свободы и .

По таблице квантилей распределения Фишера находим .

Гипотезу принимаем, т.к.

Задача 8

Оценка значений сопротивления для большой партии однотипных резисторов, определенная по результатам измерений 100 случайно отобранных экземпляров,  Считая, что СКО ошибки измерений сопротивления известно ( ), найти вероятность того, что для резисторов всей партии значения сопротивления лежит в пределах  10 ± 0,1 кОм.

Решение:

Обозначим оценку математического ожидания, а = 10 математическое ожидание для всей партии. Тогда

Значение функции Лапласа найдём по таблице Ф(1)=0,841345. Отсюда, вероятность того, что среднее сопротивления значение находится в указанном интервале, равна 0,68269.