2 вариант (типовик), страница 2

2) Найдем вероятность того, что изделие оказалось не бракованным:

Найдем вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на 1-ом станке. иcпользуя формулу Байерса:

) Найдем вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на 1-ом станке:

величины 000000000000000000000000000000000000000Задача №6

Произведено n выстрелов с постоянной вероятностью попадания P. Для случайной величины m найти:

1) распределение вероятностей;

2) функцию распределения и построить её график;

3) вероятность попадания случайной величины в интервал

4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Дано:

Решение:

По формуле Бернулли:

,q=1-p.

Поставим в соответствие событию: 0 – промах, 1 – одно попадание, 2- два попадания и т.д.

, где

m
0	1
1	4
2	6
3	4
4	1

2) значения F(x) – вероятность того, что случайная величина ζ примет значения < x:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3)

4)

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача №7

Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности

Найти:

1. функцию распределения F(x)

2. построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

3. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал

4. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Дано:

Решение:

1) Найдем функцию распределения F(x):

2) построим графики f(x) и F(x)

3) Найдем вероятность попадания в интервал :

4) Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача №8

Дана плотность вероятности случайной величины .

Найти:

1) математическое ожидание и дисперсию , используя для .

2) плотность вероятности и построить её график.

3) математическое ожидание и дисперсию , используя найденную плотность вероятности .

Дано:

Решение:

1)

Математическое ожидание:

по формуле

Дисперсия:

предварительно вычислим

2)

Для нахождения плотности случайной величины , необходимо определить интервалы монотонности ф-ии :

В данной ситуации нам интересен только интервал , на котором обратной к функции является ф-ия

3)

Используя плотность по формулам и

Вывод: и тем и другим способом ответы получаются одинаковые.

Задача №9

Дана система двух случайных величин , закон распределения которой задан таблицей, где

Найти:

1. законы распределения случайных величин и ;

2. математическое ожидание и дисперсию случайных величин и ;

3. коэффициенты корреляции ;

4. условные распределения и ;

5. условные математические ожидания и .

Дано:

Таблица 2.

	0	0,06	0,12
	0	0,15	0,10
	0,18	0,12	0,05
	0,10	0,04	0,08

Решение:

1. Найдем распределения законы распределения случайных величин и :

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайных величин и :

3) Найдем коэффициенты корреляции :

1. Вычислим условные распределения и ;

Условный закон распределения случайной величины при условии, что :

Условный закон распределения случайной величины при условии, что :

5) Найдем условные математические ожидания и .

Задача №10

Система непрерывных случайных величин распределена равномерно в области D, ограниченной линиями

Найти:

1. совместную плотность распределения , предварительно построив область D.

2. плотности вероятностей случайных величин и ;

3. математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;

4. коэффициент корреляции ;

5. условные плотности распределения и

6. условные математические ожидания и , линии регрессии и построить их график.

Дано:

Решение:

1) Т.к. в области D система распределен равномерно, то

Построим область D:

;

1. Найдем плотности вероятностей случайных величин и :

при

при

1. Найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин и :

1. Найдем коэффициент корреляции :

1. Найдем условные плотности распределения и :

Условная плотность распределения величины при условии , что

, если

аналогично находим условную плотность распределения случайной величины при условии, что

, если .

1. Найдем условные математические ожидания и , линии регрессии и построим их график:

при

при

График в координатах, где по осям абсцисс-y, по оси ординат-x.

Задача №11

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , где система случайных величин из задачи 10.

Дано:

Решение:

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию: