63657 (Вопросы устойчивости и общие сведения об автогенераторах)

Реферат на тему:

"ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОГЕНЕРАТОРАХ"

Критерии устойчивости

Любая радиоэлектронная система содержит ряд устройств, через которые проходят электрические сигналы. Рассмотренные ранее усилительные каскады (как примеры усилительных цепей) представляют собой устройства, увеличивающие мощность электрического сигнала (в частном случае гармонического колебания), подаваемого на вход. Возникает вопрос – что является источником этого гармонического сигнала? Природа механических колебаний проста и понятна – качание маятника, колебание пружины и т. д. С электрическими колебаниями несколько сложнее. При рассмотрении переходных процессов в колебательном контуре уже возникала ситуация, когда после подачи на вход перепада напряжения или тока в контуре возникали гармонические колебания тока или напряжения. Эти колебания носили затухающий характер, так как амплитуда их уменьшалась по экспоненциальному закону. Частота этих колебаний, а также скорость затухания определялись первичными параметрами колебательного контура – R, L, C. Но при построении аппаратуры электросвязи требуются устройства, вырабатывающие гармонические сигналы с постоянной амплитудой и неизменной частотой без какого-либо воздействия извне. При этом должна существовать возможность изменять в некоторых пределах номинальные значения амплитуды и частоты вырабатываемых колебаний. Такие устройства и называют автоколебательными цепями или автогенераторами. Как и усилительные каскады, автогенераторы преобразуют энергию источника постоянного тока в энергию радиочастотных колебаний. Но, в отличие от усилителей, у автогенераторов отсутствует источник гармонического колебания на входе. Колебания должны возникать самопроизвольно, то есть автоматически, после включения электропитания. Существует большое множество автогенераторов, отличающихся своими параметрами, но принципы их построения и функционирования во многом сходны. В основе этих принципов лежит теория устойчивости, основоположником которой является известный русский ученый А.М. Ляпунов.

Большинство существующих схем автогенераторов можно представить в виде каскада с положительной обратной связью (ПОС). При соответствующем выборе параметров этой ОС усилительный каскад становится неустойчивым и возникает самовозбуждение усилителя, т. е. усилитель превращается в автогенератор. Рассмотрим условия, при которых это возможно.

На рисунке 8.1 показана схема усилителя с обратной связью, у которого входной сигнал отсутствует (как и должно быть у автогенератора).

Рис. 8.1. Схема усилителя с обратной связью при отсутствии входного сигнала

Запишем выражение для U_ВЫХ (р):

или

(8.1)

Предположим, что схема на рисунке 8.1 является автогенератором, т. е. устройством, самопроизвольно вырабатывающим гармонические колебания U_ВЫХ (р) 0. Тогда равенство (8.1) будет справедливо при тех значениях р, которые являются корнями характеристического уравнения

(8.2)

Значения этих корней будут определять возможность возникновения и частоту генерируемых колебаний (после соответствующей замены оператора р на j). Из теории устойчивости следует, что система с обратной связью (рис. 8.1) будет устойчивой, если все корни характеристического уравнения (8.2) будут иметь отрицательные вещественные части, т. е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости р_К = _К + j_К. Если хотя бы один из корней р_К имеет положительную вещественную часть (_К > 0), то система становится неустойчивой. Известно, что неустойчивые электрические цепи не могут находиться в состоянии покоя. Любое случайное воздействие, каким бы оно малым не было (например, флуктуации теплового тока транзистора), вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания. Значение амплитуды колебаний в реальных электрических цепях ограничено нелинейными свойствами активного элемента, а частота определяется мнимой частью корня р_К после замены р на j. В цепи, таким образом, устанавливаются свободные электрические колебания с определенной частотой и постоянной амплитудой.

Задача вычисления корней характеристического уравнения (8.2) решается элементарно только в простейших случаях.

Для определения возможности самовозбуждения заданной электрической цепи разработаны и используются методы, позволяющие судить об устойчивости цепи без вычисления корней характеристического уравнения (8.2). Эти методы получили название критериев устойчивости.

В настоящее время известен ряд критериев устойчивости. Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом конкретном случае один из них может оказаться удобнее других. Чаще всего в теории электрических цепей используются критерии, предложенные А. Гурвицем (1895 г.), А.В. Михайловым (1938 г.) и Г. Найквистом (1932 г.). Любой из этих критериев позволяет без решения характеристического уравнения (8.2) ответить на вопрос: будет ли данная электрическая цепь работать устойчиво (как усилительный каскад) или перейдет в режим автогенерации электрических колебаний. Рассмотрим вышеназванные критерии подробнее.

Критерий Гурвица.

Этот критерий уже рассмотрен в теме 3.1 курса ТЭЦ. Суть его заключается в следующем. Операторная передаточная функция (ОПФ) рассматриваемой электрической цепи представляется в виде отношения двух полиномов

(8.3)

Условием устойчивости является то, что полином знаменателя N (р) должен являться полиномом Гурвица. Это полином, у которого определитель, составленный из коэффициентов а_k, k = 1, 2, …, n по правилам, предложенным Гурвицем, и все его главные миноры принимают положительные значения. Данный критерий относится к числу алгебраических критериев устойчивости. Напомним правила составления определителя Гурвица. На главной диагонали определителя выписываются коэффициенты уравнения в том порядке, в каком они расположены в уравнении, начиная с а₁. В каждом из столбцов определителя под диагональным элементом выписываются коэффициенты с убывающими, а над ним – с возрастающими индексами. Все коэффициенты, индексы которых превышают n, или отрицательны, заменяются нулями.

Пример 8.1.

Проверить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы, описываемой передаточной функцией

Решение задачи.

Полиному знаменателя соответствует определитель Гурвица

Главные миноры этого определителя:

Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения полинома знаменателя лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости и система устойчива.

Критерий Михайлова.

Это один из наиболее простых и эффективных критериев устойчивости. Суть его заключается в следующем. Электрическая цепь будет устойчивой, если при изменении переменной от 0 до аргумент _N () полинома N (j) знаменателя операторной передаточной функции Т(р) возрастает на угол 0,5n радиан, где n – степень полинома N (р). В практических случаях часто удобнее пользоваться геометрической трактовкой этого критерия: электрическая цепь будет устойчивой, если годограф N (j) при изменении частоты от 0 до , начиная с вещественной оси комплексной плоскости (а_n 0, т. е. начальная точка годографа при = 0 не должна быть нулевой), последовательно обходит n квадрантов в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.

Пример 8.2.

Пусть дана электрическая цепь второго порядка с характеристическим уравнением

Пользуясь критерием Михайлова оценить устойчивость.

Решение задачи.

Заменим р на j и получим

Вычислим вещественную и мнимую части N (j) для нескольких значений и сведем полученные результаты в таблицу 8.1.

Таблица 8.1.

Изобразим годограф N (j) на комплексной плоскости (рис. 8.2).

Очевидно, что с ростом частоты конец вектора N (j) последовательно проходит два квадранта, начиная с первого. Следовательно, согласно критерию Михайлова, цепь устойчива.

Рис. 8.2. Построение годографа полинома знаменателя

Пример 8.3.

Пусть электрическая цепь описывается передаточной функцией

где

Оценить устойчивость электрической цепи.

Решение задачи.

Заменим р на j и получим

Используя критерий Михайлова, построим годограф функции N (j), давая последовательно значения частоты от 0 до (рис. 8.3):

Рис. 8.3. Годограф функции N (j)

Очевидно, что в данном случае электрическая цепь не является устойчивой, так как конец вектора из первого квадранта переходит в четвертый и затем в третий, т. е. нарушается последовательность обхода, хотя общее число квадрантов, в которых побывал конец вектора, равно трем, т. е. совпадает с порядком характеристического уравнения N (р).

Критерий Найквиста. Этот критерий, как и критерий Михайлова, является частотным (в отличие от алгебраического критерия Гурвица). Он позволяет судить об устойчивости усилителя с обратной связью по виду частотной характеристики данного усилителя при разомкнутой цепи ОС. Суть критерия состоит в следующем. Система с ОС устойчива, если годограф разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (1, j0). В противном случае система будет неустойчива и может рассматриваться как автогенератор.

Рассмотрим критерий подробнее. На рисунке 8.4 показана схема усилителя с ОС.

Рис. 8.4. Схема усилителя с ОС