– бесконечно малые.

Этот предел отношения может быть различным в зависимости от быстроты стремления бесконечно малой к нулю.

Определения:

1. Если , то – бесконечно малое высшего порядка, чем (по опр.).

2. Если , то – бесконечно малое низшего порядка, чем .

3. Если , то – бесконечно малые одного порядка малой степени.

4. Если , то – называются эквивалентными бесконечно малыми величинами.
   Запись:
   ~ – эквивалентно .

5. Если не существует, то – не сравнимо малые величины.

   Примеры:

   1. .

   2. .

   3. и – одного порядка …

   4. – бесконечно малое высшего порядка чем .

   5. .

   , не имеет предела при .

   – не сравнимые бесконечно малые величины.

   Часто удобно одну из бесконечно малых взять за основную и с ней сравнивать все остальные бесконечно малые

   или – часто означают переменные.

   Опр. 6 Бесконечно малое , называется низшего порядка по отношению к бесконечно малому , если

   .

   Пример:
   ;
   бесконечно малое – .
   1.

   – высшего порядка, чем .

   Какого же порядка ???
   2. .

   – имеет 2-й порядок по отношению к .
   3. .

   Следовательно бесконечно малое – , имеет 3-й порядок малости по отношению к .

   ТЕОРЕМА 1:

   Для того чтобы бесконечно малые – и были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой высшего порядка, чем каждая из них в отдельности.

   Доказательство:

   Необходимость:

   Дано:

   Требуется доказать:

   ч.т.д.

   Достаточность:

   Дано:

   Требуется доказать:

   ч.т.д.

   1)

   2)

   ТЕОРЕМА 2:

   При вычислении предела отношений или производной бесконечно малого, каждую из них можно заменить эквивалентной.

   Пусть: , тогда .

   Доказательство:

   Рассмотрим , ч.т.д.

   Пример:

   Таблица эквивалентных бесконечно малых:

   1.

   2.

   3.

   4.

   5.

   6.

   7.

   8.

   9.

   10.

   11.

   12.

   Обобщение теоремы 2

   Опр. 7: Две функции и , называются эквивалентными при , если

   Запись та же самая:

   Теорема 2 о эквивалентных бесконечно малых распространяется на случай любых эквивалентных функций.

   Формулировка: Если при , то:

   С помощью таблицы эквивалентных бесконечно малых раскрываются различные виды неопределенностей:

   1.

   2.

   3.

   Опр. 8: Если бесконечно малая имеет более высокий порядок, чем бесконечно малая , то принимается запись: .

   Формулы для :

   1.

   2.

   3.

   4.

   5.

   Опр. 8: Если , то бесконечно малая называется главной частью бесконечно малого . Т. к. , поэтому . Каждая из двух этих бесконечно малых является главной частью другой.

   Если выполняется то – главная часть .

   Таблица эквивалентных бесконечно малых может быть записана в другой форме с использованием символа порядка.

   Формула типа называется асимптот. формулой.

   Таблица асимптот. Формул:

   1.

   2.

   3.

   4.

   5.

   6.

   7.

   8.

   9.

   10.

   11.

   12.

   Тезисы:

   1. Аналогично сравнению бесконечно малых происходит сравнение бесконечно больших.

   2. Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малому наинизшего порядка.

   – бесконечно малая величина.

   Следовательно: .

   1. Сумма бесконечно больших эквивалентна бесконечно большому наивысшего порядка роста.

   – бесконечно большая величина.

   Типовые задачи по вычислению пределов.

   1. При вычислении предела отношения и производной бесконечно малой следует пользоваться таблицей бесконечно малых. Каждую бесконечно малую заменяем более простой эквивалентной бесконечно малой…

   2. При вычислении предела с бесконечно малой, в которой встречаются сумма и разность, следует пользоваться таблицей асимптотических формул.

   3. При раскрытии неопределённости показателя всегда следует прологарифмировать показательное выражение.

ГЛАВА 2: __________________________________________.

ПАРАГРАФ 1: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Понятие о непрерывности функции описывает непрерывные процессы в округе… Непрерывные функции описывают непрерывные процессы.

Будем обозначать: – приращение аргумента.

– приращение функции.

Опр. 1: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции

Под окрестностью точки понимают любую – окрестность этой точки.

Запишем на языке – окрестностей, используя определение предела функции.

Опр. 2: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и по любому можно указать , то при выполнении: следует:

Запишем формулу ещё в другом виде:

позволяет сформулировать следующее определение, равносильное предыдущему.

Опр. 3: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки и предел функции равен функции предельного значения аргумента.

Для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами. Запишем уравнение , употребляя пределы с лева и с права. Заметим, что если существует двусторонний предел, то существует оба односторонних предела и они равны между собой, поэтому может быть записана в следующей эквивалентной форме:

Опр. 4:Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности точки , существуют конечные пределы с лева и с права и выполняется равенство: .

Пределы с лева и справа равны между собой и равны значению функции в точке.

Опр. 5: Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

ПАРАГРАФ 2: ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ.

Опр. 1: Точка называется точкой разрыва функции , если нарушается хотя бы одно из условий определения непрерывности функции; используем опр. 4:

Нарушение: – Условие:

1.

Функция определена в точках, где обращается в ноль.

Эта функция разрывна во всех точках области определения функции, т. к. эти точки изолированы без окрестности.

2. Если пределы с лева и с права не являются конечными