Лекции_ 1_1 (Лекции по Матану), страница 2

2 .

Будем различать последовательности, имеющие предел, и не имеющие предела. Общий член последовательности – переменная величина, значение которого определяется номером N. Эта величина является функцией аргумента N

ПАРАГРАФ 6: ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Опр. 1: Постоянное число называется пределом переменной , если для любого сколь угодно малого числа , существует такой номер , что при выполнении неравенства следует выполнение неравенства:

В силу леммы о вещественных числах (№1) одно неравенство с модулем (1) равносильно двойному неравенству:

Неравенство (2) определяет на оси E так называемую E – окрестность точки a.

Неравенство (2) означает, что переменная точка находится в E – окрестности точки a.

Постоянное число a называется пределом переменной , если для любой сколь угодно малой E – окрестности точки a начиная с некоторого номера n (n > N), точка попадает в эту E – окрестность, и при своем дальнейшем изменении будет там находиться.

Limit – предел.

ПАРАГРАФ 7: БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Опр. 1: Переменная называется бесконечно малой, если её пределом является нуль.

Определение на языке : Переменная называется бесконечно малой, если для любого E > 0 существует такой номер N, что при выполнении неравенства n > N, следует выполнение неравенства:

ПРИМЕРЫ:

1.

2.

3. – не имеет предела.

ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИНАХ.

ЛЕММА №1:

Для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно выполнения равенства:

– бесконечно малая величина.

Результат следует из того, что разность есть расстояние от точки до её предела , это расстояние стремится к нулю, т. к. , и наоборот: если расстояние стремиться к нулю, то .

ЛЕММА №2:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, есть величина бесконечно малая.

Доказательство:

Рассмотрим, например, сумму 3-х бесконечно малых.

Возьмем любое E > 0, т. к. ,то по определению существует номер n такой, что будет выполняться три неравенства:

(по лемме №2 о вещественных числах).

Существует номер n, такой, что при n > N выполняется неравенство:

для , это и означает, что , Ч. Т. Д.

Опр. 2: Переменная называется ограниченной, если существуют такие m и M , что для всех выполняется равенство:

ПРИМЕР:

1. Sin n – ограниченное, т. к. |sin n| ≤ 1.

3. – не является ограниченным.

(О. П. – ограниченная переменная).

ЛЕММА №3:

Произведение о. п. на б. м. есть величина б. м.

Пусть

Требуется доказать, что:

Доказательство:

Пусть

Возьмем , т.к. – бесконечно малая, то существует номер N такой что при: ,

Тогда .

, при , следовательно, выполняется неравенства:

,

Это и означает, что: – бесконечно малая.

ПАРАГРАФ 8: БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Опр. 1: Переменная , называется бесконечно большой, если для любого, сколь угодно большого, числа существует такой номер , что если

Неравенство (1) равносильно объединению 2-х неравенств: (где – «или»)

по другому:

Опр. 2: Объединения 2-х промежутков , называются -окрестность бесконечности.

Бесконечно большие величины при своём изменении начиная с некоторого номера попадает в окрестность бесконечности и там далее остаётся.

Пример: , если

1 )

2)

-2, 4, -8, 16, -32, …

n =1 n=2 n=3 n=4 n=5

Будем различать положительные и отрицательные бесконечно большие величины

– положительные б.б.

– отрицательные б.б.

ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ.

ЛЕММА №1:

Величина обратная бесконечно малой есть бесконечно большая величина, и обратно…

Доказательство:

Пусть ,

Это значит, что для любого сколь угодно большого числа существует N такой, что при следует выполнение неравенства:

ЛЕММА №2:

Произведение бесконечно большой величины на переменную, стремящуюся к конечному пределу отличного от нуля, есть бесконечно большая величина.

ПАРАГРАФ 9: ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

ТЕОРЕМА №1: (о единственности предела).

Если переменная имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

От противного: Предположим, что имеет различных пределов.

По лемме №1 о б.м. имеют места 2 равенства:

Вычтем почленно из одного неравенства другое:

Это равенство противоречиво, т.к. с лева постоянное число неравное нулю, а справа, стремящаяся к нулю. Постоянное число не может стремиться к нулю. Противоречие доказывает теорему.

ТЕОРЕМА №2: (о предельном переходе в неравенстве.).

Пусть при всех n выполняется неравенство

,и переменные и имеют пределы:

;

Тогда: , т. е. .

Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.

Доказательство: (от противного)

Предположим, что

Выделим вокруг точек и столь малые E – окрестности, чтобы они не пересекались.

По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные и попадут в свои E – окрестности предельных точек.

Это означает, что , начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.

Замечание:

Если при всех n выполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.

ПРИМЕР:

ТЕОРЕМА №3: (о стабилизации знака неравенства.).

Пусть предел и , тогда, начиная с некоторого номера n, переменная .

Доказательство:

Выберем столь малую E – окрестность точки , чтобы она целиком располагалась правее _. По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменная попадает в E – окрестность точки _. Но это и означает, что для этих n:

Замечание:

Аналогично доказывается теорема о том, что если и , то, начиная с некоторого номера n, выполняется неравенство: .

ТЕОРЕМА №4: (арифметические операции над переменными, имеющими предел).

Пусть существуют пределы: и , тогда существуют пределы переменных:

1.

2.

3.

1.

2.

3.

Доказательство:

Доказываем второй случай, остальные доказываются аналогично.

2 случай:

,

.

По Лемме №1 о бесконечно малых выполняется:

– сумма трех переменных.

Переменная представилась в виде суммы: постоянной и бесконечно малой , это и означает, что постоянная и есть предел этой переменной.

, ч. т. д.

Эта теорема представляет другие возможности вычисления предела:

ТЕОРЕМА №5: (об ограниченности переменной, имеющей конечный предел).

Пусть переменная имеет конечный предел , тогда эта переменная является ограниченной переменной, что означает, что при всех n имеет место неравенство , где и – некоторые постоянные числа.

Доказательство:

Возьмем производную , по определению предела существует такой номер ,что при следует выполнение неравенства:

Значение переменной, которые могут не удовлетворять неравенство (*) лишь конечное число:

Рассмотрим множество чисел: выберем из них самое большое и обозначим , тогда при всех выполняется: , ч. т. д.

ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства , причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел , тогда переменная также имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номера будут выполняться неравенства:

и

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом .

, ч. т. д.

ПАРАГРАФ 10:ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Опр. 1: Постоянное число называется пределом функции при , если для любого существует число , такое, что при выполнении неравенства следует выполнение неравенства .

или

Запишем неравенство (1) и (2) без модуля:

Двойное неравенство (3) определяет – окрестность точки на оси абсцисс.

Двойное неравенство (4) определяет – окрестность точки на оси ординат.

Определение предела функции означает, что по выделенной производной
– окрестности точки на оси определяется – окрестность. Есть точка на оси такая, что как только переменная попадает в – окрестность своей предельной точки , так сейчас же переменная попадает в – окрестность своего предельного значения .

Замечание

В определении предела указывается, что т. к. в точке функция может быть не определена.

Все теоремы о пределах, сформулированные и доказанные для случая переменной , т. е. последовательности, переносятся без существенных изменений на случай предела функции.